고유치 문제

고유치(eigenvalue, characteristic value) 문제란 고유치와 고유다항식, 고유벡터에 대한 문제이다. 많은 경우, 행렬의 대각화를 다루며 이 문제를 풀기 시작할 것이다. 고유치 문제는 행렬의 대각화에 대한 쓸모와는 별개로, 행렬에 대한 다양한 정보들을 준다. 행렬과 선형 변환 사이에는 1-1 대응이 있기에 선형 변환에 대해서도 마찬가지이다.

"고유"라는 단어는 영어 "characteristic", 독일어 "eigen"의 번역으로, "고유"에 대한 외국어 표기를 쓸 때에는 공간 상의 이유로, 영문 표기만 따로 적겠다.

여기서는 체 [math]F[/math] 위의 유한 차원 벡터 공간[math]V:=F^{n}[/math], [math]A\in M_{n}\left(F\right)[/math]에 대해 다룬다.

1 유한 차원 벡터 공간에서의 선형 변환과 고유치 문제

고유치 문제는, 정사각 행렬에 대해 다루는 것이 논하기 편하다. 그런데 유한 차원 벡터 공간 [math]V[/math]에 대해, 그 위의 선형 변환[math]T[/math]을 행렬로 변환시켜 행렬과 마찬가지의 논의를 할 수 있다. 이는, [math]V[/math]의 두 기저 [math]B_{1}[/math], [math]B_{2}[/math]에 대해, 행렬 [math]\left[T\right]_{B_{1}}[/math]와 [math]\left[T\right]_{B_{2}}[/math]의 성질이 완전히 같기 때문에 가능한 일이다. [math]\left[T\right]_{B_{1}}[/math]와 [math]\left[T\right]_{B_{2}}[/math]가 상사라는 관점에서, 상사인 행렬은 근본적으로 다를 바 없다는 것을 보여준다.

2 고유 다항식과 고유치, 고유 벡터, 고유 공간

영어로는 각각 characteristic polynomial, characteristic value (eigenvalue), characteristic vector (eigenvector), characteristic space (eigenspace)라 한다.
행렬의 대각화에서는 [math]\lambda x=Ax[/math]인 [math]\lambda\in F[/math], [math]0\neq x\in V[/math]을 찾고 싶었다. 이는 [math]\left|\lambda I-A\right|=0[/math]여야 가능한 일이다. 즉, [math]\lambda\in F[/math]가 다항식 [math]\left|xI-A\right|\in F\left[x\right][/math]의 근이어야 한다. [math]\left|xI-A\right|[/math]를 고유 다항식(characteristic polynomial)이라 한다. 그리고 그 근 [math]\lambda\in F[/math]을 고유치(characteristic value)라 한다. [math]\left|\lambda I-A\right|=0[/math]이므로, [math]0\neq x\in V[/math]가 존재하여 [math]\left(\lambda I-A\right)x=0[/math] 즉, [math]\lambda x=Ax[/math]이다. 이 [math]x\in V[/math]을 [math]\lambda\in F[/math]에 대응하는 고유 벡터(characteristic vector)라 한다.고유 벡터의 모임[math]W_{\lambda}:=\left\{ x\in V:\lambda x=Ax\right\} [/math]을[math]\lambda\in F[/math]에 대응하는 고유 공간(characteristic space)라 한다. 명백히, [math]{\displaystyle \bigoplus_{\lambda\text{:char. val.}}}W_{\lambda}\ltV[/math]이다. 그리고 대각화 가능할 필요충분 조건은 [math]{\displaystyle \bigoplus_{\lambda\text{:char. val.}}}W_{\lambda}=V[/math]이다.

3 최소 다항식(minimal polynomial)

행렬환[math]M_{n}\left(F\right)[/math]는 [math]n^{2}[/math]차원 [math]F[/math]-벡터 공간이기도 하다. 따라서, [math]\left\{ A^{i}:0\leq i\leq n^{2}\right\} [/math]는 선형 종속이다. 따라서, 다항식 [math]0\neq p\in F\left[x\right][/math]가 존재하여, [math]\left(p\right)=\left\{ q\in F\left[x\right]:q\left(A\right)=O\right\} [/math]이고 [math]\deg p\leq n^{2}[/math]이다. 이 [math]p[/math]를 [math]A[/math]의 최소 다항식이라 한다.

케일리-해밀턴 정리에 따라서, [math]A[/math]의 특성 다항식 [math]f[/math]에 대해, [math]p\mid f[/math]이다.

또, 기약 다항식 [math]i\in F\left[x\right][/math]에 대해, [math]i\nmid f[/math]면, [math]i\nmid p[/math]임이 알려져 있다.