나비에-스토크스 방정식

밀레니엄 문제
미증명 이론나비에-스토크스 방정식의 해의 존재와 매끄러움
리만 가설
버츠와 스위너톤-다이어 추측
양-밀스 질량 간극 가설
호지 추측
P-NP 문제
증명된 이론푸앵카레 추측

Navier-Stokes equations

1 개요

나비에-스토크스 방정식은 점탄성이 없는 유체(Newtonian Fluid)[1] 의 작용하는 힘과 운동량의 변화를 기술하는 비선형 편미분 방정식이다. (뉴턴 제 2 법칙의 확장) 이 방정식은 물리학 중 역학에 관련된 수많은 곳에 널리 사용되고 있다.

수학적인 관점에서 보자면, 이 방정식이 3차원(또는 시간을 포함한 4차원 시공간)상에 해가 항상 존재하는지, 존재한다면 해를 어떻게 구하는지, 특이점은 없는지 그래프 구조가 매끄러운지 등이 증명되지 않았다. 이 문제를 수학적인 관점에서 해결하라는 것이 밀레니엄 문제이다.

1.1 기본형

[math]\displaystyle \frac{ \partial }{ \partial t } \left( \rho \mathbf{u} \right) + \nabla \cdot \left( \rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} + p \mathbf{I} \right) = \nabla \cdot \tau + \rho \mathbf{g}[/math]

가장 기본적인 형태. 응력과 변형률의 관계를 나타내지 않은 상태이다.

1.2 비압축성 (incompressible)[2]

비압축성일 경우 식이 상당히 간단해진다.

  • 먼저 벡터를 사용해서 나타낸 식[3] 벡터의 수많은 존재 이유 중 하나

[math]\displaystyle \frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t } + \left(\mathbf{u} \cdot \nabla\right) \mathbf{u} - \nu \nabla^2 \mathbf{u} = -\nabla w + \mathbf{g} [/math]

  • 직교좌표에서 텐서를 사용해서 나타낸 식.

[math]\displaystyle \left( \frac{ \partial }{ \partial t } + u_j \frac{ \partial }{ \partial x_j } - \nu \frac{ \partial^2 }{ { \partial x_j }^2 } \right) u_i = - \frac{ \partial w }{ \partial x_i } + g_i [/math]

[math]\displaystyle x: \rho \left( \frac{ \partial }{ \partial t } + u_x \frac{ \partial }{ \partial x } + u_y \frac{ \partial }{ \partial y } + u_z \frac{ \partial }{ \partial z } \right) u_x =[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{ \partial p }{ \partial x } + \mu \left( \frac{ \partial^2 }{ { \partial x }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial y }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial z }^2 } \right) u_x + \mu \frac{ \partial }{ \partial x } \left( \frac{ \partial u_x }{ \partial x } + \frac{ \partial u_y }{ \partial y } + \frac{ \partial u_z }{ \partial z } \right) + \rho g_x [/math]

[math]\displaystyle y: \rho \left( \frac{ \partial }{ \partial t } + u_x \frac{ \partial }{ \partial x } + u_y \frac{ \partial }{ \partial y } + u_z \frac{ \partial }{ \partial z } \right) u_y =[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{ \partial p }{ \partial y } + \mu \left( \frac{ \partial^2 }{ { \partial x }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial y }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial z }^2 } \right) u_y + \mu \frac{ \partial }{ \partial y } \left( \frac{ \partial u_x }{ \partial x } + \frac{ \partial u_y }{ \partial y } + \frac{ \partial u_z }{ \partial z } \right) + \rho g_y [/math]

[math]\displaystyle z: \rho \left( \frac{ \partial }{ \partial t } + u_x \frac{ \partial }{ \partial x } + u_y \frac{ \partial }{ \partial y } + u_z \frac{ \partial }{ \partial z } \right) u_z =[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{ \partial p }{ \partial z } + \mu \left( \frac{ \partial^2 }{ { \partial x }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial y }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial z }^2 } \right) u_z + \mu \frac{ \partial }{ \partial z } \left( \frac{ \partial u_x }{ \partial x } + \frac{ \partial u_y }{ \partial y } + \frac{ \partial u_z }{ \partial z } \right) + \rho g_z [/math]

  • 구면좌표계

[math]\displaystyle r: \rho\left(\frac{\partial u_{r}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{r}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial\theta}-\frac{u_{\phi}^{2}+u_{\theta}^{2}}{r}\right)=[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{\partial p}{\partial r}+\rho g_{r}+\mu\left[\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial u_{r}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}u_{r}}{\partial\phi^{2}}+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{r}}{\partial\theta}\right)-2\frac{u_{r}+\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}+u_{\theta}\cot\theta}{r^{2}}-\frac{2}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}\right][/math]

[math]\displaystyle \phi: \rho\left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\theta}+\frac{u_{r}u_{\phi}+u_{\phi}u_{\theta}\cot\theta}{r}\right)=[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial p}{\partial\phi}+\rho g_{\phi}+\mu\left[\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}u_{\phi}}{\partial\phi^{2}}+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\theta}\right)+\frac{2\sin\theta\frac{\partial u_{r}}{\partial\phi}+2\cos\theta\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\phi}-u_{\phi}}{r^{2}\sin^{2}\theta}\right][/math]

[math]\displaystyle \theta: \rho\left(\frac{\partial u_{\theta}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}+\frac{u_{r}u_{\theta}-u_{\phi}^{2}\cot\theta}{r}\right)=[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\theta}+\rho g_{\theta}+\mu\left[\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}u_{\theta}}{\partial\phi^{2}}+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}\right)-\frac{2}{r^{2}}\frac{\partial u_{r}}{\partial\theta}-\frac{u_{\theta}+2\cos\theta\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}}{r^{2}\sin^{2}\theta}\right][/math]

  • 원통좌표계

[math]\displaystyle r: \rho\left(\frac{\partial u_{r}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial\phi}+u_{z}\frac{\partial u_{r}}{\partial z}-\frac{u_{\phi}^{2}}{r}\right)=[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{\partial p}{\partial r}+\rho g_{r}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_{r}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u_{r}}{\partial\phi^{2}}+\frac{\partial^{2}u_{r}}{\partial z^{2}}-\frac{u_{r}}{r^{2}}-\frac{2}{r^{2}}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}\right][/math]

[math]\displaystyle \phi: \rho\left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}+u_{z}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial z}-\frac{u_{r}u_{\phi}}{r}\right) =[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\phi}+\rho g_{\phi}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u_{\phi}}{\partial\phi^{2}}+\frac{\partial^{2}u_{\phi}}{\partial z^{2}}-\frac{u_{\phi}}{r^{2}}+\frac{2}{r^{2}}\frac{\partial u_{r}}{\partial\phi}\right][/math]

[math]\displaystyle z: \rho\left(\frac{\partial u_{z}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{z}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_{z}}{\partial\phi}+u_{z}\frac{\partial u_{z}}{\partial z}\right)=[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{\partial p}{\partial z}+\rho g_{z}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_{z}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u_{z}}{\partial\phi^{2}}+\frac{\partial^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}\right][/math]

1.2.1 비점성 (inviscid)

이때는 식이 더 간단해진다.

[math]\displaystyle \frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t } + \left(\mathbf{u} \cdot \nabla\right) \mathbf{u} = -\nabla w + \mathbf{g} [/math]

이 식은 오일러 방정식이라고도 한다.

1.3 압축성[4]

[math] \displaystyle \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} = - \frac{1}{\rho} \nabla \bar{p} + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \frac{1}{3} \nu \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \mathbf{g} [/math]

비압축성에 비해 항이 좀 더 많아졌다. 스칼라식 풀이는 이하생략.


공대가면 교양과목으로 다들 거쳐가는 관문이다(ABET을 실시하는 미국 공학과정에서도 2학년 이전에 지나가는 관문이다). 무섭게 생겼지만 당신이 이과생이라면 50% 이상의 확률로 보게 될 공식이니 친해지자.

2 설명

유체역학의 가장 기본이 되는 방정식. 공기를 비롯해 점성을 가진 대부분의 기체와 액체의 운동을 나타내는 비선형 편미분 방정식이다.[5][6] 프랑스 물리학자 클로드 루이 나비에와 영국 수학자 조지 스톡스의 이름을 따왔다.

나비에-스톡스 방정식은 뉴턴의 제2법칙인 [math]F=ma[/math]를 유체역학에서 사용하기 편하게 그 형태를 바꾼 것이다. 유체는 고체와 달리 정해진 형태가 없기 때문에 우리가 흔히 역학 하면 생각하는 '고정된 좌표계'에서의 분석이 불가능하다. 따라서 유체에 뉴턴역학을 적용하기 위해서는 다른 방식이 필요하고, 이 방식에 따라 운동량 보존 법칙을 재정리한 것이 이 방정식이다. 따라서 이 방정식은 운동량 보존법칙이라고 불리기도 한다. 물리학에서 대표적으로 보존되는 물리량 중에서 유체역학에서 중요시하는 물리량은 질량, 운동량, 에너지로, 이 세 물리량의 보존법칙[7]이 유체역학의 지배방정식이 되고, 그 중 가장 복잡하고 중요한 방정식이 이 나비에-스토크스 방정식이다. 때때로 질량 보존 법칙[8]까지 합쳐서 나비에-스토크스 방정식이라고 부를 때도 있다.

기계공학, 항공우주공학 전공 대학생이라면 2~3학년 때 처음 이 방정식을 접하게 된다. 물론 토목공학, 화학공학 등의 유체를 다루게 되는 학과에서도 배울 수 있다.

[math]\mathbf{u}[/math]는 유체의 속도, [math]\mathbf{g}[/math]는 중력가속도, [math]\rho[/math][9]는 밀도, [math]p[/math]는 압력, [math]\mu[/math][10]는 점성계수, [math]\nu[/math][11]는 점성계수를 밀도로 나눈 값, [math]w[/math]는 압력을 밀도로 나눈 값, [math]\mathbf{I}[/math]는 단위행렬, [math]\otimes[/math]는 텐서곱을 나타낸다. 비행기가 공중에 뜰 수 있는 것도, 기상청에서 아직 오지도 않은 며칠 후의 날씨를 예측할 수 있는 것도 이 방정식과 관련이 있다. 이게 증명되면 트리 다이어그램도 레알[12]

문제는... 이 방정식이 지금까지 알려진 것 중에 (해석적인) 해를 구하기 가장 어려운 편미분방정식 중 하나라는 것이다. 이 방정식을 풀기 어렵게 만드는 범인은 위의 방정식의 좌변 두 번째 항( [math] \nabla \cdot \left( \rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} + p \mathbf{I} \right) [/math] )으로, 이 항(advective term)[13]이 비선형[14]이기 때문에 해를 구하기가 어렵게 된다. 게다가 압축성의 경우에는 우변 맨 마지막의 점성항도 비선형( [math] \mu \nabla^2 \mathbf{u} \rightarrow \nu \nabla^2 \mathbf{u} + {1 \over 3} \nu \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf{u}\right) [/math] )으로 변한다. 몇몇 특수한 경우의 풀이법[15]은 알려져 있지만 일반적인 풀이법은 알려져 있지 않다. 심지어는 일반적인 풀이법이 있는지 없는지조차 아직 모른다... 이 방정식의 일반적인 풀이법[16]을 알아내거나, 이러한 풀이법이 존재하지 않음을 증명하는 것은 밀레니엄 문제 중 하나로 100만달러의 상금이 걸려 있다.[17]

우리 주변에 항상 존재하는 공기와 물의 움직임을 기술하는 방정식이기 때문에 밀레니엄 문제 가운데 가장 실생활과 가깝게 연관된 문제이기도 하다. 예를 들면 난류(turbulence) 현상은 주변에서 흔히 볼 수 있고 많이 연구되어 있지만 아직도 학자들은 난류가 정확히 어떻게 나타나는지에 대해 모두 설명할 수가 없다.[18]

어쨌든 이 나비에-스토크스 방정식의 일반적인 풀이법이 알려져 있지 않기 때문에, 유체의 움직임을 예측하려면 컴퓨터를 동원해서 이 방정식을 시뮬레이션하여 수치적으로 구하는 것이 유일한 방법이다.이를 전산유체역학(Computational Fluid Dynamics, 줄여서 CFD)이라고 부른다. 그런데 수치해석을 통해 구한다는 것은 수학적 엄밀해가 아니라 실용적으로 쓸 수 있는 '근사 값'을 구한다는 것이다. 보통 흐름이 복잡하지 않고 단순하다면 그 근사 값은 실제 현상과 거의 동일하며 오차는 소수점 한 참 아래 수준이 된다. 문제는 수학적 엄밀해가 아니므로 오차가 생길 수 있으며, 근사 값을 구할때 사용한 가정(경계조건이나 난류항, 격자의 개수 등)이 잘못 되었거나 하면 실제와 다른 결과가 나온다. 이 때문에 수퍼컴퓨터씩이나 동원해도 변수가 많은 일기예보가 종종 틀린다. 더 자세한 내용은 전산유체역학 참조.

푸앵카레 추측을 증명해낸 희대의 은둔 수학자 그리고리 페렐만이 이 문제에 관심을 가지고 연구 중이라는 명확치 않은 소문이 있다. 만약 그게 사실이라면 이 문제도 풀릴 날이 멀지 않은걸까? 하지만 아마 또 100만달러 안 받을거야 그렇게 또 100만 달러가 허공으로 사라지는 건가

만화 바텐더에도 잠시 언급되는데, 사사쿠라 류의 단골 중 하나인 수학자가 이 나비에-스토크스 방정식의 증명에 상당히 도달했다는 식의 설정으로 등장한다.

히가시노 게이고의 소설 라플라스의 마녀에서도 핵심 주제로 등장한다. 특정한 뇌 수술을 받은 사람이 무의식적으로(!) 이 문제를 해결했다는 설정. 며칠 후의 날씨를 정확히 예측하고, 3층 높이에서 종이를 떨어트려서 정확한 곳에 안착시키는 기행을 보여준다.

2014년 1월 11일에 카자흐스탄 교수인 무흐타르바이 오텔바예프(Mukhtarbay Otelbaev)가 이 방정식의 전역적(global)이고 연속적인 해가 존재함을 증명했다고 [1]발표했으나 결국 검증 끝에 해당 증명은 틀렸다고 판명되었다 #

3 관련 문서

  1. 이는 다시 말하면 유체가 점탄성을 갖는 경우에는 어찌 되었건 이 방정식이 성립하지 않는다는 것을 의미한다! 혈액이나 우유 같은 경우가 대표적.
  2. 대표적으로 액체
  3. 가끔 [math] \nabla^{2} [/math] 대신 [math] \Delta [/math]로 표현하곤 하는데 같은 뜻이다. 역삼각형은 , 똑바로 된 삼각형은 라플라시안.
  4. 대표적으로 기체 (같은 기체라도 유속이 빠를수록 압축성에 의한 효과가 크게 나타난다.
  5. 페인트나 우유처럼 나비에-스토크스 방정식으로 설명할 수 없는 유체도 존재한다. 이는 방정식 자체가 Newtonian Fluid에만 적용이 가능하기 때문이며, 이런 Non-newtonian fluid들은 나비에-스톡스 방정식으로는 설명할 수 없는 점탄성(viscoelasticity)등의 성질을 갖고 있다.
  6. 유체역학은 연속체역학의 부분집합인만큼, 연속체로 가정할 수 없는 경우(희박기체, 아주 작은 스케일 등)에는 적용되지 않을 수 있다
  7. 비압축성의 경우 에너지 보존 법칙은 제외하고 풀기도 한다.
  8. 연속방정식이라고 불리기도 한다
  9. 그리스 문자 rho(로우)
  10. 그리스 문자 mu(뮤)
  11. 그리스 문자 nu(뉴)
  12. 단, 트리 다이어그램은 분자 하나하나까지 계산해내는 녀석인데, 불확정성 원리때문에 실제론 불가능하다.
  13. 유체 이동에 의한 속도장의 변화를 나타냄
  14. 1차 연립방정식으로 변형할 수 없는 꼴
  15. 대표적인 것으로는 속도가 다른 두 평판 사이의 유동(Couette; 예를 들어 비 올 때 도로와 타이어 사이의 빗물의 유동)이나 가늘고 긴 관 속을 흐르는 유동(Poiseuille)이 있다. 이 이외에도 몇 가지의 해석해가 존재하지만, 대부분 매우 느린 유동에 해당한다. 이는 사실상 공돌이들이 배우는 유체역학이 복잡해지는 이유 중 하나로, 여러 경우에 대해 각각 다른 공식을 적용해야 하기 때문이다.
  16. 2, 3차 방정식처럼 근의 공식이 있는가.
  17. 수학에서 일반해를 구하는 것과, 일반해가 존재함을 증명하는 것은 다른 차원의 문제이다.
  18. 리처드 파인만은 난류가 물리학계에서 가장 중요한 미해결문제라고 말한 적이 있다.