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목차
1 개요
벡터 공간에서 정의된 이중 선형(bilinear) 함수의 일종. inner product 또는 dot product라고 부른다.
보통 내적은 벡터의 크기를 측정하는 용도로 쓰인다. 크기는 실수와 복소수에서 가능한 이야기이나, 일반적인 체 위에서도 내적에 대해 이야기할 수 있다. 본 문서에서는, 실수, 복소수, 일반적인 체로 나누어 설명하기로 한다.
내적이 주어진 벡터 공간을 내적 공간이라 한다. 행렬에서의 곱셈이 이상하게 정의된 이유가 바로 이것이다. 행렬 곱셈의 결과 행렬은 앞 행렬의 행벡터와 뒤 행렬의 열벡터를 내적한 값을 스칼라로 가지는 행렬이라고 할 수가 있다.
또한 내적은 적분으로도 정의가 되기도 하는데 공대에서 흔히 쓰이는 푸리에 해석이 바로 내적의 한 예이다.
2 정의
체 [math]F[/math]의 벡터 공간[math]V[/math]의 내적[math]\left( \cdot \mid \cdot \right)V\times V\rightarrow F[/math]은 다음을 만족한다.
* (이중 선형성)임의의 [math]u,v,w\in V[/math]와 [math]a\in F[/math]에 대해,-* (첫번째 인수에 대한 선형성)[math]\left( au+v \mid w \right)=a\left( u\mid w \right)+\left(v \mid w \right)[/math]
-* (두번째 인수에 대한 선형성)[math]\left( w\mid au+v\right)=a\left( w\mid u \right)+\left(w \mid v \right)[/math]
- (대칭성)임의의 [math]u,v,w\in V[/math]와 [math]a\in F[/math]에 대해,
[math]\left( u\mid v\right)=\left( v\mid u \right)[/math]- (비퇴화성)임의의 [math]v\in V[/math]에 대해,
[math]\left( v\mid v\right)=0\rightarrow v=0[/math]
3 추가적인 공리 및 변형
상황에 따라서, 위의 공리들이 변형되거나 몇 가지 공리들이 추가된다.
3.1 실수 [math]\mathbb{R}[/math] 에서
* (음이 아님)임의의 [math]v\in V[/math]에 대해,
[math]\left( v\mid v\right)\geq 0[/math]
3.2 복소수 [math]\mathbb{C}[/math] 에서
이하의 세 공리는 자신과의 내적을 실수로 만들기 위한 것이다.
* (음이 아님)임의의 [math]v\in V[/math]에 대해,
[math]\left( v\mid v\right)\geq 0[/math]
- (켤레 대칭)임의의 [math]u,v\in V[/math]에 대해,
[math]\left( u\mid v\right)=\overline{\left( v\mid u \right)}[/math]- (두번째 인수에 대한 켤레 선형성)임의의 [math]u,v\in V[/math]에 대해,
[math]\left( u\mid av+w\right)=\overline{a}\left( u\mid v \right)+\left( u\mid w \right)[/math][1]
4 직교여부분공간(orthogonal complement subspace)
내적 공간 [math]V[/math]의 부분공간 [math]W\ltV[/math]을 생각하자. [math]W[/math]의 직교여부분공간(orthogonal complement subspace) [math]W^{\perp}[/math]을 다음과 같이 정의한다.[2] 실제로 [math]W^{\perp}[/math]은 부분공간이다.
[math]W^{\perp}:=\left\{v\in V:\forall w\in W \left(v\mid w\right)=0\right\}[/math]
다음을 쉽게 알 수 있다.
- [math]V=W\bigoplus W^{\perp}[/math]