Logistic equation
1 개요
로지스틱 방정식은 생태학에서 생물의 개체수 증가를 수학적 모델로 표현하려는 시도중에 하나이다. 당연하겠지만 미분방정식이다(!!).
이 식에 따른 그래프는 S자 커브를 그리게 된다.
기본적인 아이디어는 현재 시점에서의 개체수 증가율은 현재 시점의 총개체수의 영향을 받는다는 것이다. [math]t[/math]시점에서의 총개체수를 [math]N=N(t)[/math]라 하고 [math]\displaystyle\dot{N} = \frac{dN}{dt}[/math]라 하면 로지스틱 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math]\displaystyle\frac{\dot{N}(t)}{N(t)} = a - bN(t)\qquad(a, b\gt0)[/math]
수학적으로는 [math]a[/math]와 [math]b[/math]가 반드시 양수일 필요는 없지만 양수일 때에 적절한 의미로 해석하기 좋다.
총개체수가 적을때에는 [math]bN(t)[/math]항이 작으므로 개체수 증가율이 [math]a[/math]에 가깝지만, 총개체수가 증가하면서 증가율이 점점 감소하게 된다.
방정식 자체만 보면 뉴턴의 냉각 방정식에 1차항 하나를 추가한 단순한 확장이며 베르누이 미분방정식의 가장 단순한 경우이다. 로지스틱 방정식도 베르누이 미분방정식의 해를 구하는 방법으로 해를 구한다. 즉, 양변을 [math]N(t)[/math]로 나누고 [math]\displaystyle y(t) = \frac{1}{N(t)}[/math]로 치환하면 쉬운 일계 미분방정식 꼴로 나온다. 이것을 풀면 S자 곡선을 그리는 식이 나온다.
2 대한민국에서 유명세를 타게 되다
우리나라에서 이 식이 대중적으로 유명해진 것은, 2012년 대통령 선거의 시간대별 개표결과가 이 식의 그래프 및 함수값과 유사했기 때문이다. 때문에 이 개표결과가 로지스틱 함수에 따라 미리 설계되어 있었고, 그걸 바탕으로 중앙선거관리위원회가 개표결과를 조작했다는 개표조작 음모론이 제기되었다.
그러나 당연하게도 현실이 수학적 모델을 매끈하게 따르는 경우가 충분히 나올 수도 있다는 반론이 제기되어 있다. 실제로 엄밀한 로지스틱스 곡선을 따르지도 않아 모델과 차이점이 있으며, 매우 큰 대수의 경우 모델이 적합하게 들어맞는 경우가 많다. 반론 참고
실제로 다른 나라의 선거에도 로지스틱 곡선을 대입해보면 매끄러운 곡선이 나오는 경우가 많다.