1 개요
미분가능한 연속함수 f(x), g(x)에 대해서 다음과 같이 부정적분, 정적분할 수 있다. 자세히 보면 알겠지만 곱의 미분법에서 도출된 공식이다.
| [math]\displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx [/math] [math]\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f'(x)g(x)dx [/math] |
2 우선순위
로다삼지의 법칙에 의해 로그함수 쪽으로 갈수록 미분우선이고, 지수함수 쪽으로 갈수록 적분우선이다. 이러한 우선순위가 존재하는 까닭은 로그함수로 갈 수록 적분이 까다로워지기 때문이다.
| 로그함수 | (역삼각함수) | 다항함수 | 삼각함수 | 지수함수 |
| ←미분우선 | 적분우선→ | |||
3 세로셈
부분적분 세로셈(Tabular Integration)을 통해서 좀 더 빨리 부분적분을 계산할 수 있다. 이 때, 정적분은 부정적분으로 바꾸어서 계산하고 나중에 정적분으로 계산해야 한다. 세로셈은 부분적분을 여러 번 해야 할 때 더욱 빠르다.
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부분적분 세로셈은 f'(x) = c(상수[1])가 되면 f'(x)가 적분기호 밖으로 나올 수 있다는 점을 이용한다.[2] 표의 왼쪽 열은 미분하는 열이고, 오른쪽 열은 적분하는 열이다. 위의 우선순위에 의해 미분열 맨 위에 미분하려는 함수(f(x))를 적고, 적분열 맨 위에 적분하려는 함수(g'(x))를 적는다. 그 후 미분열 아래로 계속 미분을 하고, 적분열 아래로는 계속 적분하여 내려간다. 그러다가 미분열에 적힌 함수가 상수가 되면 맨 왼쪽에 행마다 +,-,+,-를 반복하여 부호를 붙인다. 그 아래로 적분을 한 번 더 하여 하향 대각선 방향으로 함수를 곱한 뒤 그 결과를 더하면 된다.
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| 부분적분을 한 번 쓴 경우 | 부분적분을 두 번 쓴 경우 |
위 그림처럼 부분적분을 두 번 연속해서 쓸 수도 있다. 마찬가지 방법으로 계속 아래로 내려가면 부분적분을 계속해서 쓸 수 있다. 백문이불여일견이라고 그림만 보지말고 위 문제를 직접 써보면서 익히는 것이 좋다.
3.1 교환법칙
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어떤 함수가 같은 행에 있다는 것은 이 부분적분 중간에 그 함수를 곱해서 적분하는 과정이 들어있다는 뜻이다. 따라서 같은 행에 한해서 왼쪽 열(미분열)과 오른쪽 열(적분열)의 교환법칙이 성립한다. 단, 이 과정을 아래줄에 적을 때 +,- 부호도 같이 유지된다는 점에 유의하자. 사실상 같은 식을 두 번 적은 셈이니 하향 대각선으로 가는 곱도 함수교환 직전에는 하지 않는다.
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| 부분적분을 한 번 쓴 경우 | 부분적분을 두 번 쓴 경우 |
3.2 미분열이 상수가 되지 않는 경우
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같은 행에 있는 함수는 곱하여 적분한 것을 뜻하므로, 하향 대각선으로 가다가 마지막에는 가로 일직선으로 곱해서 적분기호를 붙이면 된다. 이 때 적분기호를 빼먹지 않도록 하자.
4 예제
4.1 예제 1
[math]\displaystyle \int \ln x dx[/math]
[math]\displaystyle f\left ( x \right )=\ln x,g'\left ( x \right )=1[/math]
[math]\displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{1}{x},g\left ( x \right )=x[/math]
[math]\displaystyle x\ln x-\int 1dx=x\ln x-x+C[/math]