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1 개요
코시 주요값은 일반적인 방법으로 구할 수 없는 이상적분을 구할 수 있는 방법이다.
2 진술
어떤 함수가 [math]{x}_{0}[/math]근처에서 발산할 경우,[math]{x}_{0}[/math]을 포함하는 구간의 정적분 즉 이상적분은 다음과 같이 계산될 수 있다.
[math]\displaystyle \mathcal{P}\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx=\lim_{c\rightarrow 0+}\left \{ \int_{a}^{{x}_{0}-c}f\left ( x \right )dx+\int_{{x}_{0}+c}^{b}f\left ( x \right )dx\right \}[/math]
3 예1
소수 분포를 추정할 때 쓰는 비초등 함수인 로그 적분 함수의 경우 피적분함수가 x=1 근처에서 발산하므로 [math]{x}_{0}=1[/math]이다.따라서 x>1일 때 코시 주요값은 다음과 같다.
[math]\displaystyle \mathcal{P}\int_{0}^{x}\frac{1}{\ln x}dx=\lim_{c\rightarrow 0+}\left \{ \int_{0}^{1-c}\frac{1}{\ln x}dx+\int_{1+c}^{x}\frac{1}{\ln x}dx\right \}\left ( x\gt1 \right )[/math]
4 예2
[math]\displaystyle \frac{{e}^{x}}{x}[/math]의 부정적분인 지수적분 함수는 해당함수의 도함수인 [math]\displaystyle \frac{{e}^{x}}{x}[/math]이 x=0 근처에서 발산한다.그러므로 [math]{x}_{0}=0[/math]이다.
해당 함수의 정의는 [math]-\displaystyle \int_{-x}^{\infty}\frac{1}{x{e}^{x}}dx[/math]이지만 특이점[1]인 x=0이 적분구간에 포함된다.([math]x\gt0[/math]인 경우.)
그러므로 코시 주요값을 사용해서 다음과 같이 정의하자.
- ↑ 함수가 어떤 점 근처에서 발산할 때 그 어떤 점을 특이점이라 한다.