1 개요
그리스의 천문학자 프톨레마이오스의 이름이 붙은 평면기하학의 정리 중 하나이다. 그런데 어째서인지 한국에선 "프톨레마이오스의 정리" 보다는 영어식 발음인 "톨레미의 정리"라는 이름으로 더 많이 알려져 있다. 톨레미의 정리는 원에 내접하는 사각형에 관한 것이며, 삼각형의 닮음과 원의 성질만 배우면 바로 증명이 가능할 정도로 간단하다. 하지만 한국의 수학 교육과정에서는 가르치지 않고 수학 경시대회를 준비한다면 학원 같은 곳에서 배우게 된다. 하지만 비단 수학 경시대회가 아니더라도 이 톨레미의 정리는 알아놓으면 고등학교 때 까지도 잘만 써먹는다.
2 정리
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원에 내접하는 사각형에서, [math]\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}=\overline{AC}\cdot\overline{BD}[/math]이 성립한다. 다른 말로 표현하자면, 내접사각형의 두 대각선 길이의 곱은 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합이다.
3 증명
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[math]\angle{CAD}=\angle{BAP}[/math]가 되게 대각선 [math]\overline{BD}[/math]위에 점 [math]P[/math]를 잡는다. 또한, 원주 [math]\overarc{AD}[/math]에 대한 원주각에 의해 [math]\angle{ABP}=\angle{ACD}[/math]이다. [math]\therefore\triangle{ABP}\sim\triangle{ACD}[/math] (AA 닮음). 변의 비를 구하면, [math]\overline{AB}:\overline{BP}=\overline{AC}:\overline{CD}[/math]이고, 따라서 [math]\overline{AB}\cdot\overline{CD}=\overline{AC}\cdot\overline{BP}\quad\cdots\left(1\right)[/math]
이제 [math]\angle{BAC}=\angle{PAD}[/math]이고, [math]\angle{BCA}=\angle{BDA}[/math] (원주 [math]\overarc{AB}[/math]에 대한 원주각)이므로 [math]\triangle{ABC}\sim\triangle{APD}[/math] (AA 닮음). 변의 비를 구하면, [math]\overline{AC}:\overline{BC}=\overline{AD}:\overline{PD}[/math]이고, 따라서 [math]\overline{BC}\cdot\overline{AD}=\overline{AC}\cdot\overline{PD}\quad\cdots\left(2\right)[/math].
1번식과 2번식을 변끼리 더하면, [math]\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}=\overline{AC}\left(\overline{BP}+\overline{PD}\right)=\overline{AC}\cdot\overline{BD}[/math].
4 톨레미의 부등식
임의의 사각형에서, [math]\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}\geq\overline{AC}\cdot\overline{BD}[/math]가 성립한다. 등호가 성립할 필요충분조건은 사각형이 원에 내접할 때. 평면에서의 증명은 원래 증명과 비슷하게 닮음이 되는 점 [math]P[/math]를 찍고 삼각부등식을 이용한다. 신기한 것은, 이 톨레미의 부등식은 평면 뿐만이 아니라 모든 차원의 사각형에 대해 성립한다! 증명은 다음과 같다.
벡터 [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}[/math]에 대해, [math]\left(\vec{a}-\vec{b}\right)\cdot\left(\vec{c}-\vec{d}\right)+\left(\vec{a}-\vec{d}\right)\cdot\left(\vec{b}-\vec{c}\right)=\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{d}-\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{d}=\left(\vec{a}-\vec{c}\right)\cdot\left(\vec{b}-\vec{d}\right)[/math]이므로로, 삼각부등식에 의해, [math]\left|\left(\vec{a}-\vec{b}\right)\cdot\left(\vec{c}-\vec{d}\right)\right|+\left|\left(\vec{a}-\vec{d}\right)\cdot\left(\vec{b}-\vec{c}\right)\right|\geq\left|\left(\vec{a}-\vec{c}\right)\cdot\left(\vec{b}-\vec{d}\right)\right|[/math]가 성립한다. 이는 곧, [math]\left|\vec{a}-\vec{b}\right|\cdot\left|\vec{c}-\vec{d}\right|+\left|\vec{a}-\vec{d}\right|\cdot\left|\vec{b}-\vec{c}\right|\geq\left|\vec{a}-\vec{c}\right|\cdot\left|\vec{b}-\vec{d}\right|[/math]이고, 따라서 [math]\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}\geq\overline{AC}\cdot\overline{BD}[/math]가 성립한다.
5 특별한 경우의 톨레미 정리
원을 직선으로 눌렀을 때도 톨레미의 정리는 성립한다. 한마디로, 직선 위의 점 A, B, C, D에서도 위의 정리가 성립한다. (원을 직선으로 누를 수 있는 이유는 다음 링크 참조 : [1])이심률만 다른 근본적으로 같은 도형이다