1 개요
[math]T_2[/math]의 도움정리는 Titu Andreescu가 저서인 Problems from the book에서 이 도움정리의 중요성을 강조하면서, 자신의 이름 Titu를 재미있게 변형하여 붙이면서 이 도움정리를 [math]T_2[/math]의 도움정리라고 부른다. KMO를 준비한다면 알아두면 좋다. 자세한 정리는 다음과 같다.
실수#s-2 [math]a,b[/math]와 양의 실수 [math]x,y[/math]에 대하여 다음이 성립한다.[math]\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}[/math].
2 증명
[math]\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}-\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\frac{1}{xy\left(x+y\right)}\left\{a^2 y\left(x+y\right)+b^2 x\left(x+y\right)-\left(a+b\right)^2 xy\right\}[/math]
[math]=\frac{1}{xy\left(x+y\right)}\left(ay-bx\right)^2\geq 0[/math]
이 되어 주어진 부등식이 성립한다. 등호는 [math]\frac{a}{x}=\frac{b}{y}[/math]일 때 성립한다.
3 확장
[math]T_2[/math]의 도움정리를 두 번 사용하면 실수 [math]a,b,c[/math]와 양의 실수 [math]x,y,z[/math]에 대하여 다음이 성립한다.
[math]\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\geq\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}[/math].
변수가 4, 5, 6, ... 개 일 때도 귀납적으로 같은 부등식이 성립한다. 따라서,
실수 [math]a_1,a_2,\cdots,a_n[/math]과 양의 실수 [math]x_1,x_2,\cdots,x_n[/math]에 대하여[math]\frac{a_1^2}{x_1}+\frac{a_2^2}{x_2}+\cdots+\frac{a_n^2}{x_n}\geq\frac{\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)^2}{x_1+x_2+\cdots+x_n}[/math]
이 성립한다. 등호 성립은 [math]\frac{a_1}{x_1}=\frac{a_2}{x_2}=\cdots=\frac{a_n}{x_n}[/math]이다.