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||https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/83/Tetrahedron.jpg?width=120&height=120||https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/53/Square_pyramid.png?width=120&height=120||https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/02/Pentagonal_pyramid.png?width=120&height=120||https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Hexagonal_pyramid.png?width=120&height=120||https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8b/Pentagram_pyramid.png?width=120&height=120||
||삼각뿔||사각뿔||오각뿔||육각뿔||오각별뿔[* 이게 왜 다각뿔에 해당하는지 궁금할 수도 있으나, 슐레플리 부호로 ()∨{5/2}인 오목 정다각뿔이다. 자세한 내용은 정n각뿔에 대한 정보에서 슐레플리 부호를 참조.]||

== 개요 ==
角뿔, Pyramid

[[다각형]]을 밑면으로 삼고, 다각형의 모든 변을 다각형이 존재하는 평면 밖의 한 점(정점, 頂點)과 이은 입체 도형.

밑면 하나와 밑면의 변의 개수만큼의 삼각형 옆면으로 이루어져 있다. [[사면체|삼각뿔]]의 경우 밑면도 삼각형이므로 밑면과 옆면을 구분할 수 없다. 모든 면이 정다각형인 볼록 다각뿔은 유클리드 공간에서 오직 3개([[정사면체|정삼각뿔]], [[정사각뿔(J1)]], [[정오각뿔(J2)]])만 존재한다.[* 정삼각형이 6개 모이면 각도가 360º가 되고, 이는 평면도형으로 축퇴되며, 당연히 이보다 많은 정삼각형은 한 점에 모을 수 없다.]

각뿔의 밑면과 평행한 모든 단면은 밑면과 닮음이다.

== 일반적인 다각뿔에 대한 정보 ==
각기둥 밑면의 넓이를 <math>A</math>, 밑면의 둘레를 <math>\ell</math>, 높이를 <math>h</math>라고 할 때

부피(volume) = <math>\displaystyle\frac{1}{3}Ah</math>

=== 정n각뿔에 대한 정보 ===
||단위/특성||개수||비고||
||[[다면체#s-3.1|슐레플리 부호]]|| ||()∨{n}[* 슐레플리 부호에서 ()는 점을 의미하며, ∨는 한 지점으로 도형을 잇는다는 연산자이다.][* 참고로 {}는 선분을 의미하고, ()∨{}는 선분의 양 끝을 한 점과 이은 도형, 즉 삼각형을 의미한다.]||
||꼭지점(vertex, 0차원)||n+1|| ||
||모서리(edge), 1차원)||2n|| ||
||면(face, 2차원)||n+1||[[정다각형|정n각형]], [[삼각형]]×n||
||쌍대|| ||정n각뿔[* 밑면과 옆면을 꼭지점으로 치환하고 다시 이어도 똑같은 모양이 된다.]||

== 확장된 의미 ==
2차원 다각형의 변을 한 점과 이어 3차원 도형인 각기둥을 만들 수 있듯이, n차원의 도형들을 한 차원 더 높은 차원의 어느 한 점과 이어 초각뿔(hyperpyramid)을 만들 수 있다. 슐레플리 부호는 ()∨P[* 단, P는 n-1차원 도형]로 3차원 다각뿔과 같다.

밑면의 초넓이가 A[* n차원 초입체를 이루는, n-1차원 도형. 면처럼 취급한다.], 높이가 h인 초부피의 높이 t에서의 단면은

<math>\displaystyle A\left(\frac{h-t}{h}\right)^{n-1}</math>

이므로, 높이 0~h까지 적분하면

<math>\displaystyle\int^{h}_{0}A\left(\frac{h-t}{h}\right)^{n-1}\, dt</math>
<math>=\,\displaystyle-A\frac{h}{n}\left[\left(\frac{h-t}{h}\right)^n\right]^{h}_{0}</math>
<math>=\,\displaystyle\frac{1}{n}Ah</math>

따라서 밑넓이 A, 높이 h인 n차원 초각뿔의 부피는 <math>\displaystyle\frac{1}{n}Ah</math>이다.

[[분류:기하학]]

각뿔 - 편집 역사

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