2017년 1월 23일 (월) 01:32에 Maintenance script님의 편집

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[[분류:기하학]]

* 상위항목 : [[수학]], [[수학 관련 정보]], [[미적분]]
曲率, curvature
[목차]
== 개요 ==
곡률은 선의 굽은 정도를 표현하는 수치이다. 곡률이 클 수록 [[곡선]]은 더 굽어 있다.

한 예시로 원의 곡률은 반지름의 역수이다. 즉 원이 커질수록 곡률은 작아진다. 지구처럼 큰 원이 종이에 그린 동그라미보다 훨씬 평평해 보이는데, 이는 더 작은 곡률을 갖고 있기 때문이다. 자세히 설명하자면, 지구와 동그라미 위에서 같은 길이만큼 이동했을때 동그라미에서 방향이 더 크게 틀어지기 때문에 곡률이 더 크다.

대체로 곡률은 [[스칼라]] 값으로 주어지지만 간혹 곡률 [[벡터]]라는 이름으로 휘어진 방향과 정도를 함께 표현하기도 한다. 이를 확장하여 곡면이나 n차원 물체의 곡률도 생각할 수 있는데 [[텐서]] 등의 형태로 기술된다.

== 구하는 법 ==
원의 경우는 반지름의 역수로 곡률을 구할 수 있지만 일반적인 곡선의 경우에는 "반지름"이 정의되지 않기에 다른 방법을 써야 한다. 곡률의 특징을 나열해 보자면...
* 직관적으로 직선의 곡률은 0이다.
* 어떤 선이 시간에 따라 움직이는 점의 자취라고 생각했을 때, 단위 시간당 방향이 심하게 바뀔수록[* 즉 시간에 비해 빠르게 변할수록] 곡선은 큰 곡률을 갖는다.

이런 조건에 맞는 정의를 찾으려면 먼저 선이 [[미분]] 가능해야 하고, 미분한 값이 0인 점[* 곡선이 멈추는 지점]이 없어야 한다. 접선 벡터 함수 T와 [[곡선#s-3|길이 함수]] s가 있을 때, 곡률에 대한 함수 카파는 아래와 같은 형태로 구해진다.
> <math> \kappa=\left|\frac{dT}{ds}\right| </math>

== 3차원 공간 안의 곡면 위에서 곡률 ==
3차원 공간 안에 존재하는 [[곡면]] 위에 있는 곡선들의 곡률은 곡선의 모양에 따라 다양하게 변한다. 따라서 곡면 위의 점 P와 그곳에서의 단위 수직벡터(Unit Normal Vector)에 대해 점 P에서 곡면에 접하는 평면 p 위에서 접선벡터 <math> V_P </math>에 대해 수직벡터 U가 변하는 정도, 다시 말해 <math> S( V_P ) = {\nabla}_{V_P} U </math> 를 모양 연산자(Shape operator)라고 한다. 단위 수직벡터 U는 길이가 변하지 않으므로 모든 접평면 상의 벡터 V에 대해 이 모양연산자 벡터 S(V)는 U와 수직하다. 다시 말해 P의 접평면 위에 존재한다.
P에 접하는 벡터 v가 역시 단위벡터일 때 스칼라 <math> k(v)= S( v_P ) \cdot v </math>를 v 방향으로의 수직 곡률(Normal Curvature)라고 한다. 기하학적으로는 U, v방향으로 지나는 평면과 곡면과의 교선인 곡선의 곡률이라 생각하면 된다. 다만 이 곡률값은 부호가 존재하며, 수직벡터 U쪽으로 구부러지면 0보다 크고, U와 반대방향으로 구부러지면 0보다 작아진다.
그 수직 곡률중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값 <math> \kappa_1, \kappa_2 </math>를 주곡률(Principal Curvature)라고 부른다. 사실 모양 연산자 S(V)는 접평면 벡터 V에 대해 선형 변환이 된다. 주곡률값은 모양 연산자 S(V)의 고유값이라고 생각하면 된다.
그 주곡률값 둘을 곱한 곡률 <math> K= \kappa_1 \cdot \kappa_2 </math>를 점 P에서의 가우스 곡률(Gauss Curvature)라고 하고, 주곡률값 둘의 평균 <math> H = \frac {\kappa_1 + \kappa_2 } {2} </math>을 평균 곡률(Mean Curvature)라고 부른다.
예를 들면 평면은 어느 방향으로 그리든지 구부러져 있지 않으므로 모든 방향에서의 수직곡률이 0이 된다. 따라서 가우스 곡률도 0이 된다. 한편 반지름 r인 구는 구면위의 어떤 방향으로도 수직곡률이 1/r이 되므로 가우스 곡률은 <math> 1/r \times 1/r =1/r^2</math>가 된다.
특이하게도 가우스의 놀라운 정리(Gauss Theorema Egregium)에 의하면 이 가우스 곡률은 등거리사상(isometry)[* 두 접벡터의 내적을 보존하는 사상이다. 쉽게 말하면 두 점 사이의 거리가 변하지 않는 사상을 말한다.]에 의해 변하지 않는다는 점이다. 예를 들면 지구 표면을 묘사하는 평면상의 어떠한 지도도 두 지점 사의의 거리를 완벽하게 묘사할 수 없다는 이야기이다. 즉, 실제로 지도는 어떻게 그리든 지구표면의 실제 모양과 완벽하게 닮게 그리는게 불가능한 것을 의미한다! [* 참조 : [[https://ko.m.wikipedia.org/wiki/%EC%A3%BC%EA%B3%A1%EB%A5%A0]] 참고로 <math> R^{d+1} </math> 유클리도 공간 상의 d차원 다양체에 대한 개념으로 설명을 확대했다. ]

곡률 - 편집 역사

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