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* 상위 문서: [[수학 관련 정보]]

[목차]

== 개요 ==
가장 잘 알려진 [[이항연산]]이자 [[사칙연산]]의 하나. 덧셈/뺄셈을 배우고 나서 배우게 되는데, 항상 +나 -로 표기되는 덧셈/뺄셈과는 달리 '''다양한 기호'''를 사용하는 것이 특징이다. [[투명]] 기호(...)부터 시작해서 초등학교 수준에서 배우는 ×[* [[벡터]]에서는 [[외적]], [[미분방정식]]에서는 회전을 나타낸다.], 중등 교육 과정에서 사용하는 [[⋅]][* [[벡터]]에서는 [[내적]], [[미분방정식]]에서는 발산을 나타낸다.], 두 [[벡터]]로 [[텐서]]를 만들 때 사용하는 ⊗, 컴퓨터에서 [[X]]와의 혼동을 피하기위한 * 등등...

투명 기호는 숫자와 문자, 문자끼리의 곱에서만 쓰인다. [[델(연산자)|델]]( <math> \nabla </math> )에 투명 기호가 쓰인 것은 그래디언트라는 [[미분]] 연산으로 따로 정의한다.
== 정의 ==
대학에서 대수학을 추상적으로 배우기 시작하면서부터는 보통

1. 군 구조에서
2. 가환일 것.

이 두가지 조건을 만족하는 연산을 곱셈이라고 하는 경우가 많다. 실제로는 우리가 알고 있는 곱셈에서부터 파생되는 경우를 배우는 게 대부분이다.

하지만 이게 성립하지 않는 군도 있다. [[벡터]]나 [[행렬]]이 대표적인 예. ~~[[리버스]]도 있다~~ 특히 벡터는 곱셈을 다양하게 정의하는데다 일반적인 "곱셈"과는 다른 양상을 보이는데, 이는 전신인 [[사원수군]]이 그렇게 생겨먹었기 때문.

== 예제 ==
곱셈구조는 상당히 다양하다. 그 중 대표적인 것은 다음과 같다.

* 정수에서의 곱셈
* 실수, 복소수에서의 곱셈
* 벡터, 행렬에서의 곱셈
* [[지수]]
* [[테트레이션]]
* [[델(연산자)|기울기, 발산, 회전]]

이 중 첫번째는 (홀수)×(홀수) = (홀수), (홀수)×(짝수) = (짝수), (짝수)×(홀수) = (짝수), (짝수)×(짝수) = (짝수) 라는 대표적인 예제가 존재한다.

또한 (양수)×(양수) = (양수), (양수)×(음수) = (음수), (음수)×(양수) = (음수), '''(음수)×(음수) = (양수)''' 라는 성질도 존재한다.

이외에도 다음 성질이 있다.
* 일반적으로[* [[사원수군]], [[벡터]], [[행렬]] 등은 제외] [[교환법칙]]이 성립한다. 즉 <math> ab = ba </math> .
* 일반적으로[* 팔원수군 등은 제외] [[결합법칙]]이 성립한다. 즉 <math> (ab)c = a(bc) </math> .
* [[분배법칙]]이 성립한다. 즉 <math> a (b + c) = ab + ac </math> .
* 일반적으로[* [[행렬]]은 항등원이 하나 더 존재한다. 자세한 것은 행렬 참조.] 항등원은 [[1]]이다. 즉 1을 아무리 곱하거나 나눠도 아무 변화가 없다는 것.

한편, 가환군인 경우 이를 이용한 특수한 계산 법칙이 있다. 여기에 대해서는 [[곱셈 공식]], [[인수분해]] 참조.

== 곱셈의 역원 - 나눗셈 ==
곱하는 것이 있다면 나누는 것도 있기 마련인데 이를 나눗셈이라고 한다. 초등교육 과정에서는 ÷이라는 기호를 쓰나, 그 정체는 다름아닌 [[분수]]. 그래서인지 중등 교육과정부터는 아예 분수를 곱하는 것으로 나눗셈을 대체한다…. 많은 컴퓨터 프로그래밍 언어에서는 나눗셈을 나타낼 때 ÷ 대신 /를 사용한다.[* ÷기호 자체가 기본 키보드로는 칠 수가 없는 문자이기도 하다.]

나눗셈을 할 때 주의할 것이, '''[[0]]으로 나눠서는 안 된다'''는 것이다. 0의 특성상 __0을 곱해서 0이 아닌 수가 나올 수가 없기 때문이다__.[* 0의 역원 1/0=[[무한대]]라는 오해가 있는데, 무한대는 실수 집합에 포함되지 않으므로 틀린 말이다. 무한대를 포함하는 확장된 실수에서는 <math>\infty^{-1} = 0</math>이라고 정의하지만 <math>0 \cdot \infty</math> 또는 <math>0^{-1}</math>의 값은 여전히 정의되지 않는다. 약간 어거지를 부려서 <math>\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}{x} = 0</math>의 역원이 <math>\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}{\frac{1}{x}} = \infty</math>라고 하면 말은 되겠지만 이것은 <math> \forall \epsilon > 0</math>인 <math>0 + \epsilon</math>의 역원을 묻는 문제이지 0의 역원을 묻는 문제가 아니다.]
~~[[https://www.youtube.com/watch?v=oIcevk665II|실제로 이짓을 하면 블랙홀이 생긴다.]]~~
== [[지수(수학)|지수]] ==
거듭제곱이라고도 하며, 같은 수를 어느 정도까지 곱했는가라는 것을 나타낸다. 자세한 것은 [[지수(수학)|지수]] 문서 참조.

== [[테트레이션]] ==
거듭제곱의 거듭제곱. 자세한 것은 [[테트레이션]] 문서 참조.

== 덧셈/뺄셈으로 바꾸기 ==
[[로거리듬|로그]]를 쓰면 곱셈을 덧셈으로 취급할 수 있다. 자세한 것은 [[로거리듬|로그]] 문서 참조. ~~2×2=2+2=4, 2×3=2+2+2=6... [[참 쉽죠?]]~~

== 기타 ==
개요에서 서술했듯이 곱셈 기호로 여러가지를 사용하고 하나의 식에서 그것이 혼용이 되어서 사용하기도 하기 때문에 간혹 논란이 발생하기도 한다. [[48÷2(9+3)]] 참고. 비슷하게 나눗셈이 포함된 식에 ÷과 /를 혼용할 경우도 키배가 벌어진다. [[http://parkoz.com/gf_usga|#]]

[[분류:산술]]

곱셈 - 편집 역사

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