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* 상위 항목: [[논리학 관련 정보]]

[[한자]]: 關係
[[영어]]: relation
[목차]
== 개요 ==
복수의 대상이 서로 관련하여 이루는 특성. [[현대]] [[한국어]]에서는 "a, b, c가 관계를 '''맺는다'''" 같은 표현이 주로 쓰인다. 예를 들어 '1+1은 2와 '''같다'''', '5는 3보다 '''크다'''', '철수가 영희에게 사과를 '''준다'''' 등이 관계를 나타내는 대표적인 예시다.

세계에는 매우 다양한 관계들이 있는 것 같다. 나무위키에서 다루는 대표적인 관계들은 [[대국관계일람]], [[가족관계]] 같은 항목들에서 확인할 수 있다.

위 예시들에서 나타나듯 자연 [[언어]]에서 관계는 [[동사(품사)]], [[형용사]]처럼 [[술어]] 역할을 하는 어휘에 의해 표현된다. 따라서 [[수리 논리학]]에서 관계는 논항이 여럿인 술어, 즉 다항 술어(polyadic predicate)로 나타낸다. 1항 술어가 나타내는 것이 [[속성]]이라고 여겨지므로, [[형이상학]]에서는 다항 술어가 나타내는 것인 관계가 속성과 매우 유사한 것 혹은 속성의 일종이라고 분석하는 경우가 일반적이다. 후자인 경우 관계는 1항 속성(monadic property)에 대비하여 "다항 속성", 혹은 "관계적 속성(relational property)"라고 부르고는 한다.

[[고틀로프 프레게]]가 관계를 [[함수]]로 분석한 이래로 관계는 대개 [[집합론]]을 통해 분석된다. [[#s-2|하단 참조]]. 다만 엄밀히 따지자면 [[수리 논리학]]적 관점에서 하단 정의는 관계의 외연(extension)에 대한 정의로 이해된다. 예를 들어 [[ZFC 공리계|표준적 집합론]]의 언어에서 2항 술어인 "∈"이 표현하는 관계, 즉 원소-집합 관계는 기초적인 것으로 전제되어야만 하기 때문이다.

== [[집합론]]에서의 정의 ==
어떤 집합 <math>G</math>가 집합 <math>X_1, X_2,..., X_n </math>의 곱집합(Cartesian Product) <math> \prod \limits_{i=1}^{n}X_i = X_1 \times X_2 \times... \times X_n = \left\{\left(x_1,x_2,... x_n\right)|x_1\in X_1, x_2\in X_2, ..., x_n\in X_n\right\} </math>의 부분집합이라고 하자. 즉 <math>G \subset \prod \limits_{i=1}^{n}X_i</math>이라고 하자. 이때 "<math>X_1, X_2,..., X_n </math> 위의 관계 <math>R</math>"은 [[튜플|순서 (n+1)-중체]] <math> \left(X_1, X_2,..., X_n, G\right)</math>로 정의하며, <math>G</math>은 "관계 <math>R</math>의 그래프"라고 부른다.

하지만 경우에 따라서는 "<math>X_1, X_2,..., X_n </math> 위의 관계 <math>R</math>"은 그냥 <math>R=G</math>라고 정의되기도 한다. 이 경우 <math>n</math>항 술어 <math>R</math>는 단순히 집합 <math>X_1, X_2,..., X_n </math> 각각의 임의의 원소들로 이루어진 순서 n-중체의 집합으로 정의된다.

위 두 정의 가운데 어떤 것을 취하든, 집합 <math>X_1, X_2,..., X_n </math> 각각의 어떤 원소 <math>x_1, x_2,..., x_n </math>에 관해 <math>\left(x_1, x_2,..., x_n\right)\in G</math>이 성립하는 것을 두고 "<math>Rx_1 x_2... x_n</math>"라고 정의한다. 이는 일상어에서 ""<math>x_1, x_2,..., x_n</math>이 관계 <math>R</math>을 맺는다"라고 말하는 것에 대응한다.
== 2항 관계 ==
'''2항 관계(Binary Relation)'''란 위 정의를 따르되 다만 <math>n=2</math>인 경우에 해당한다. 즉 집합 <math>X, Y</math>와 사이의 2항 관계 <math>R</math>는 곱집합 <math>X\times Y=\left\{\left(x, y\right)|x\in X, y\in Y\right\}</math>의 부분집합 <math>G</math>에 대해 순서 3중체 <math>\left(X, Y, G\right)</math>로 정의되거나, 혹은 <math>G</math>로 정의된다. 후자의 경우 <math>R</math>은 집합 <math>X, Y</math> 각각의 원소로 이루어진 순서 2중체, 즉 [[순서쌍]]들의 집합으로 정의되는 것이다.

그리고 2항 관계에 한하여 <math>X, Y</math> 각각의 어떤 원소 <math>x, y</math>가 <math>\left(x, y\right)\in G</math>를 만족하는 것을 관례상 "<math>Rxy</math>" 뿐 아니라 "<math>xRy</math>"라고 쓰기도 한다.

2항 관계 <math>R</math>의 정의역(domain), 치역(range), 역(field)은 다음과 같이 정의된다.
* 정의역: (<math>G</math>의 원소들의 왼쪽 성분의 집합)=<math>\left\{x\in X| \exists y\in Y : xRy\right\}=\text{dom} \,R</math>
* 치역: (<math>G</math>의 원소들의 오른쪽 성분의 집합)=<math>\left\{y\in Y| \exists x\in X : xRy\right\}=\text{ran} \,R</math>
* 역: (정의역과 치역의 합집합)=<math>\text{dom} \,R \cup \text{ran} \,R=\text{fld} \, R</math>

2항 관계 <math>R</math>의 '''역관계''' <math>R^{-1}</math>는 <math>G</math>의 모든 원소들을 좌우 순서를 바꾼 집합 <math>G'=\left\{\left(y, x\right)| \left(x, y\right)\in G\right\}</math>에 대하여 순서 3중체 <math>\left(Y, X, G'\right)</math>, 혹은 <math>G'</math>를 말한다.

<math>X</math>와 <math>Y</math> 사이의 2항 관계 <math>R</math>이 있고, <math>Y</math>와 <math>Z</math> 사이의 2항 관계 <math>S</math>가 있다고 할 때, '''합성 이항 관계''' <math>S\circ R</math>는 <math>H=\left\{\left(x, z\right)|\exists y \in Y : xRy \,\ \text{and} \,\ ySz\right\}</math>에 대하여 순서모음 <math>\left(X, Z, H\right)</math>, 혹은 <math>H'</math>로 정의된다.

<math>X=Y</math>인 경우, 즉 출발 집합과 도착 집합이 모두 <math>X</math>로 같은 이항 관계를 <math>X</math> 위의 이항 관계라 한다.
=== 2항 관계의 대표적인 특성들 ===
집합 <math>X</math> 위의 2항 관계 <math>R</math>이 띨 수 있는 대표적인 성질들은 다음과 같다:
* '''반사성'''(or 재귀성; reflexivity): <math>\forall x \in X: xRx</math>
* '''대칭성'''(symmetricity): <math>\forall x,y \in X: xRy \to yRx</math>
* '''비대칭성'''(asymmetricity): <math>\forall x,y \in X: xRy \to \neg yRx</math>
* '''반대칭성'''(antisymmetricity): <math>\forall x,y \in X: (xRy \wedge yRx) \to (x=y)</math>
* '''전이성'''(or 추이성, 이행성; transitivity): <math>\forall x,y,z \in X: (xRy \wedge yRz) \to (xRz)</math>
* '''[[동치관계]]''': <math>R</math>이 반사성, 대칭성, 전이성을 모두 만족시키는 경우.

=== 예시 ===
* [[함수]]는 대표적인 이항 관계의 예이다. 함수 <math>f:X\rightarrow Y</math>는 정의역이 <math>X</math>이고 정의역의 임의의 원소 <math>x</math>에 대하여 <math>xRy</math>가 성립하는 <math>y\in Y</math>가 [[유일성|유일하게 존재]]하는 <math>X, Y</math>사이의 이항 관계 <math>R</math>와 같다.
[[분류:집합론]][[분류:논리학]][[분류:한자어]]

관계 - 편집 역사

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