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* 상위 문서: [[큰 수]]

Graham's number

[목차]

== 개요 ==
[[수]]의 하나. [[램지 이론]]이라는 [[조합론]]의 문제중 하나에서 구해지는 수이다.

간단히 말하자면 다음 조건을 만족하는 수.

||n차원 [[4차원|초입방체]][* 링크는 4차원으로 되어있지만 사실 그 이상의 차원도 포함한다. [[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B4%88%EC%9E%85%EB%B0%A9%EC%B2%B4|한국어 위키백과]]에 초입방체에 대한 설명이 있으니 참고하는 것도 좋다.]의 2^^n^^개의 꼭지점을 모두 연결한다. 그리고 이 선들을 2가지 색을 사용해 칠한다. 이 때 n이 충분히 크다면 칠하는 방법에 상관없이 동일 평면상에 있는 네 점을 연결한 선이 모두 같은 색인 것이 반드시 존재한다. ~~그래서 뭐라구요?~~||

여기서 나온 n 값이 바로 '''그레이엄 수'''.

== 처음 알려진 그레이엄 수(大그레이엄수) ==
1977년, 이 수를 수학자 로널드 L. 그레이엄이 그 문제의 답이라는 것을 증명했고 기존에 [[스큐스 수]]가 가지고 있던 "수학적인 증명에서 나타나는 가장 [[큰 수]]" 타이틀을 뺏어왔다. 게다가 지금 스큐스 수는 계속 줄어들고 있다.

비록 그레이엄이 이 수가 문제의 답임을 구하긴 했지만 그 답이 천문학적이라는 수식어가 왜소할 정도로 큰 수인 관계로 수학자들은 이보다 더 작은 답이 없나 찾고 있었다.

=== 계산법 ===
<math>3 \uparrow 3</math> 은 <math>3^3 (= 27)</math>을 의미한다. ↑ 하나는 일반적인 '거듭제곱'의 계산을 의미한다. 즉 <math>a \uparrow b = a^b</math>이다.

<math>3 \uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow (3 \uparrow 3)</math>으로 정의되는 데, 이미 이 단계에서 <math> 3 \uparrow\uparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987</math>. 즉 7조를 넘는다. 이를 [[테트레이션]]이라고 하는데, 일반적인 표현은 <math> a \uparrow\uparrow b = a \uparrow a \uparrow a \uparrow ... \uparrow a = a^{a^{a...^a}} </math>(a가 b개)이다.

<math>3 \uparrow\uparrow\uparrow 3</math> 은 <math>3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow 3) = 3 \uparrow\uparrow 7625597484987 = 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow ... \uparrow 3</math>인데, 7,625,597,484,987개를 거듭제곱으로 쌓아 올린 것이다. 이는 펜테이션이라고 부른다.

<math>3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3</math>은 <math>3 \uparrow\uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)</math>인데, 위와 같은 식의 계산을 그만큼 반복한다는 뜻이다. 아래 동영상에선 stupidly big, 즉 무식하게 큰 수라 정의하고 있다.

아래 동영상을 보면 <math>3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3 = g_1</math>이라 정의한다.

이제, <math>g_1</math>개의 화살표를 가진 <math>3 \uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow 3</math>을 만들자. 좀 커 보이는가? 즉, 이 말은 <math>3 \uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow 3</math>에서 ↑의 갯수가 <math>g_1</math>개, 다시 말해 <math>3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3</math>개라는 것이다. 그리고 이 수는 <math>g_2</math>라 말한다. 영상에선 이 수를 '초 황당하게 큰 수' 라 말하고 있다. 명심하자. '''<math>3 \uparrow\uparrow 3</math>만 해도 <math>3 \uparrow (3 \uparrow 3) = 3^{3^3} = 3^{27}</math>, 7조 6천억'''라는 것을. --아 머리가 블랙홀에 빨려들어가기 시작했어요.-- --g(1)만 계산하려고 했는데 [[갸아아아아아|끔살]]--

그러나 이것은 시작에 불과하다. <math>g_2</math>만큼의 화살표를 갖는 수 <math>3 \uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow 3</math>을 만들고, 다시 그 숫자만큼의 화살표를 갖는 수 <math>3 \uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow 3</math>을 만들고... 이 과정을 총 '''64번 반복'''(!!!)해야 그레이엄 수가 만들어진다. 상상조차 불가능할 정도의 큰 수라는 건 이럴 때 쓰인다. 즉, 그레이엄 수는 <math>g_{64}</math>다. <math>g_{64}</math>는 <math>3 \uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow 3</math> 안에 화살표 갯수가 <math>g_{63}</math>개, <math>g_{63}</math>은 <math>3 \uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow 3</math> 안에 화살표 갯수가 <math>g_{62}</math>개, <math>g_{62}</math>는 <math>3 \uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow 3</math> 안에 화살표 갯수가 <math>g_{61}</math>개...
[[파일:7bc945d9799259ad7f8f50c3d3be6655.png]]
--...?--
~~스크롤에 렉이 걸린 것 같다.~~
~~자꾸 표기를 생략하는 게 못마땅했던~~ 일본어 백과사전에 따른 정식 표기는 위와 같다.

다행히 콘웨이 화살표 표기법을 이용하면 <math>3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2</math>보다 크고 <math>3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2</math>보다 작은 수라고 표기할 수 있으며, <math>f(x) = 3 \rightarrow 3 \rightarrow x</math>라고 두면 f(f(...(총 64번)...f(4)...)) = <math>f^{64}(4)</math>와 같이 --안--간단히--뭐?-- 나타낼 수 있다고 한다.

흔히 쓰는 방식으로 개별 숫자를 하나하나 나열하여 그레이엄 수를 나타내려고 했을 때, 숫자 하나가 플랑크 부피(4.22419×10^^−105^^ m^^3^^)만큼의 공간을 차지한다고 하더라도 관측 가능한 우주에 그레이엄 수의 숫자를 다 담아낼 수 없다. 참고로 '''수소 원자의 부피가 6.54×10^^−32^^ m^^3^^ 정도 된다.''' 참고로, 관측 가능한 우주의 부피는 대략 3.4×10^^80^^ m^^3^^ 정도로 추정된다. -- 지수형식으로 표현하는것이 사실상 불가능하다(...) --

참고로 마지막 500자리 숫자는 다음과 같다. [[http://en.wikipedia.org/wiki/Graham%27s_number|참고]] [* <math>3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3</math>도 이미 답이 없는 상황에 그레이엄 수를 다 계산했을 리는 없다. 저 숫자들은 일부만 계산했을 때 나타나는 법칙을 토대로 구해낸 것.]

||02425950695064738395657479136519351798334535362521
43003540126026771622672160419810652263169355188780
38814483140652526168785095552646051071172000997092
91249544378887496062882911725063001303622934916080
25459461494578871427832350829242102091825896753560
43086993801689249889268099510169055919951195027887
17830837018340236474548882222161573228010132974509
27344594504343300901096928025352751833289884461508
94042482650181938515625357963996189939679054966380
03222348723967018485186439059104575627262464195387||

[youtube(5mOlNya-6X4)]
--[[심영(야인시대)|이보시오 박사양반! 이게 무슨 소리요?]]--
--[[거짓말은 하지 않는다|시청해 보자고 했지 이해 된다고 하지는 않았다.]]--

== 새로 알려진 그레이엄 수(小그레이엄수) ==
많은 수학자들이 이 수의 더 작은 하한을 찾기 위해서 노력하였는데, 어느 수학자에 의해서 이 문제의 답이 <math>2 \uparrow\uparrow\uparrow 6</math>보다 작다는 논문이 발표되었다. [[http://arxiv.org/pdf/1304.6910v1.pdf|arxiv의 논문 보기]] 단 arxiv 의 특성상 이 논문에 오류가 없다는 것이 확인된 것은 아니다. 더 많은 수학자에 의해서 검증 받게 된 후에나 인정될 것이다.

<math>2 \uparrow\uparrow\uparrow 6</math>도 매우 큰 수긴 하나 기존의 그 끝을 알 수 없었던 원래의 수보다 굉장히 작은 수다.--은하의 크기에서 태양계 크기까지 줄어들었다.--

참고로 저 논문의 내용을 간단히 요약하면 그레이엄 수 <math>Graham(2) \leq TTT(4,2,6) + 1</math>인것을 증명하였고, 거기에 추가로 <math>TTT(4,2,6) < HJ(4,2,6)</math>으로 바운드되며, <math>HJ(4,2,6) < 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (3 + 2 \uparrow\uparrow 8) < 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow\uparrow 9) < 2 \uparrow\uparrow\uparrow 6</math>이라는 것을 계산한 것이다.

=== 계산법 ===
<math>2 \uparrow\uparrow\uparrow 6</math> 을 계산하기에는 엄두가 안나니, <math>2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (3 + 2 \uparrow\uparrow 8)</math> 보다 약간(?) 더 작은 <math>2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow\uparrow 8)</math>을 계산해 보자.

일단 <math>2 \uparrow\uparrow 8</math>은 2^2^2^2^2^2^2^2로 정의되는 수이다.

<math>2 \uparrow\uparrow 4</math> = 2^2^2^2 = 65536
<math>2 \uparrow\uparrow 5</math> = 2^2^2^2^2 = 2^^65536^^ ≒ <math>2 \times 10^{19728}</math>
<math>2 \uparrow\uparrow 6</math> = 2^2^2^2^2^2 = <math>2^{2^{65536}}</math> [* 여기서부터는 [[울프럼알파]]조차도 어찌 표현을 못한다.]
<math>2 \uparrow\uparrow 7</math> = 2^2^2^2^2^2^2
<math>2 \uparrow\uparrow 8</math> = 2^2^2^2^2^2^2^2 ≒ <math>10^{10^{10^{10^{19727.78040560677}}}}</math> [[http://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5E2%5E2%5E2%5E2%5E2%5E2%5E2|울프럼알파의 계산결과]]

<math>2 \uparrow\uparrow 8</math>만으로도 어찌 표현하기 힘든데, 2를 <math>2 \uparrow\uparrow 8</math>만큼 쌓아서 만든 수만큼을 다시 2로 쌓으면 <math>2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow\uparrow 8)</math>이 된다. <math>2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (3 + 2 \uparrow\uparrow 8)</math>은 이보다 약간(?) 더 크다. 이 수도 결코 작은 수가 아닌데, 원래의 그레이엄 수에 비하면 상상조차 못할 정도의 수는 아니다.

== 참고 ==
* [[큰 수]]
* [[테트레이션]]
* [[피쉬 수]]

[[분류:큰 수]]

그레이엄 수 - 편집 역사

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