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[include(틀:다른 뜻2, other1='몬스터 헌터 4G'의 극한 상태, rd1=광룡 바이러스#s-5,other2=가정교사 히트맨 리본의 등장인물 사사가와 료헤이의 말버릇,rd2= 사사가와 료헤이)]
* 상위 문서 : [[수학 관련 정보]], [[해석학#s-1]]

[목차]

{{{+3 極限 / Limit}}}
국어적 의미로는 궁극의 한계.

== 개요 ==
[[수열]], [[미적분]]이나 [[함수]]에서 주로 쓰이는 도구로, [[뉴턴]]과 [[라이프니츠]]는 굉장히 모호한 의미인 '어떤 수는 '''절대''' 아니지만 그 수에 한없이 접근한다[* 원래 '한없이 접근한다'라는 말보다 '한없이 접근해 있다'가 더 정확한 표현(수가 움직인다는 표현은 있을 수 없기에)이지만, 처음 접할 때 '한없이 접근한다'라는 동적인 의미가 더욱 극한에 가까운 느낌을 주기 때문에 자주 사용한다. 이는 우리가 극한에 대해 배울 때 세세한 정의보다 직감으로써 극한에 대한 내용을 이해하는 것을 우선시 해야 체감 난이도를 낮출 수 있기 때문이다.]는 멋있는 개념을 들고와서 [[미분]]과 [[적분]]을 정의하는 데 아주 요긴하게 썼다.

== 수열의 극한 ==
직관적으로 말하자면 <math>n</math>이 무한히 커지는 상황에서 일반항 <math>a_{n}</math>이 <math>A</math>에 한없이 가까워질 때, <math>{\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= A </math>라 적으며, 이를 [[수열]]의 극한으로 삼는다. 여기서 '''한없이 가까워진다'''는 것의 의미가 모호하므로 수학적으로 엄밀한 정의가 필요하다.

엄밀하게는 수열이 수렴한다는 것을 <math>\epsilon - N</math> 논법으로 정의한다. 이에 따라 수열 <math> a_{n} </math> 이 <math>\alpha</math>로 수렴한다는 것의 정의는 임의의 양수 <math>\epsilon</math>에 대하여, <math>n\ge N</math> 이면 항상 <math>\left|a_{n}-\alpha\right|<\epsilon</math> 이 성립하게 되는 자연수 <math>N</math> 이 존재한다는 것이다. 여기서 <math>N</math>은 <math>\epsilon</math>을 어떻게 두느냐에 따라 변화하는 값으로 <math>\epsilon</math>에 의존한다는 뜻에서 <math>N\left(\epsilon\right)</math>이라 표현하기도 한다. <math>N\left(\epsilon\right)</math>, 이 변수가 왜 필요한지 생각해보라. 이 변수가 없으면 수렴한다고 정의할 수 없다. 즉 이 변수가 없이 위 부등식만 있는 상황에서는 발산(진동)할 수 있다는것이다. <math> a_{n}</math>이 <math>\alpha</math>로 수렴한다는 것은, 아무리 <math>\epsilon</math>을 작게 잡아도 어느 순간부터는 <math>a_{n}</math>이 쭉 그 <math>\epsilon</math> 범위 안에(즉, <math>a_{n}\in\left(\alpha-\epsilon,\,\alpha+\epsilon\right)</math>) 들어간다는 것이다. 아직 무슨 뜻인지 모르겠으면, 아래 함수의 극한에서 <math>\epsilon-\delta</math> 논법을 참고하자. 설명이 잘 되어 있으니 그걸 이해하면 <math>\epsilon-N</math> 논법도 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

예를 들어 <math>{\displaystyle \lim_{n\to\infty}}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}</math> 임을 보이자. 임의의 양수 <math>\epsilon>0</math>에 대해, <math>n</math>이 충분히 커지면 <math>\left|\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2}\right|<\epsilon</math> 이 성립함을 보이면 충분하다. 이 때 <math>\left|\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2n+1}\right)</math>이므로 <math>\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2n+1}\right)<\epsilon</math>인 <math>n</math>을 찾으면 되는데, 이는 <math>\frac{1}{4\epsilon} - \frac{1}{2} < n</math>과 동치이다. 그런데 [[아르키메데스 성질]]에 의해 저러한 <math>n</math>은 존재한다.[* [[아르키메데스 성질]]이란 아무리 작은 양수라도 유한 번 더해서 임의의 실수보다 크게 만들 수 있다는 것이다. 쉽게 말하면 "임의의 실수 <math>a</math>에 대해, <math>n>a</math>인 자연수 <math>n</math>이 존재한다" 정도로 이해하면 된다.] 따라서 이 <math>n</math>을 <math>\epsilon-N</math>논법에서의 <math>N</math>으로 잡으면, <math>n\ge N</math>일 때 항상 <math>\left|\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1}\right)<\epsilon</math> 가 성립하게 되므로 <math>{\displaystyle \lim_{n\to\infty}}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}</math> 이다.
== [[함수#s-1.6.1|일변수 함수]]의 극한 ==
[include(틀:넘겨주기(문단)1, n1=점근선)]

<math>x</math>가 한없이 <math>a</math>에 가까워질 때 <math>f\left(x\right)</math>이 한없이 <math>L</math>에 가까워지면, <math>{\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right)=L</math>이라 쓴다.

중요한 것은, <math>x</math>가 한없이 <math>a</math>에 가까워질 때 '''<math>x=a</math>가 되지는 않는다'''는 점이다. <math>{\displaystyle \lim_{x\to2}}\frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}{x-2}</math>에서 위아래를 약분할 수 있는 것도 바로 이런 정의 덕분이다. 다만, <math>x</math>가 <math>a</math>에 가까워지는 중에 <math>f\left(x\right)=L</math>이 되는 경우가 있어도 무방하다.

<math>{\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right)=L</math>이라는 것은 극한값 그 자체는 <math>L</math>과 완전히 같다는 것이다. <math>f\left(x\right)</math>의 극한값을 그렇게 ''''정의''''한 것이다. 즉, <math>{\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right)</math> 라는 식의 값은 더도 덜도 아닌 정확히 <math>L</math>이다.

[[미분]]은 그래프의 두 점을 이은 직선의 기울기가 <math>\Delta y / \Delta x</math>인데,[* 변화율을 의미한다. 거의 똑같이 생긴 [[라플라시안|라플라스 연산자]]와 헷갈리지 말 것.] 이때 "<math>x</math>의 변화량이 한없이 작아지면 어떨까?"라는 생각으로부터 <math>\displaystyle \lim_{\Delta x\to\ 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> 라고 정의하게 되었다.

점근선(漸近線)은 [[그래프]]가 점점 가까워지는 특정한 직선을 말한다.
점근선은 세가지로 나뉜다. '''수평점근선, 수직점근선, 사선점근선'''으로 보통 구분 짓는다.
> <math>\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} {f\left( x \right)} = a</math> 또는 <math>\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} {f\left( x \right)} = a</math>이면 직선 <math>y = a</math>를 함수 <math>f</math>의 '''수평점근선'''이라 한다.

> <math>\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} {f\left( x \right)} = \infty</math> 또는 <math>\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} {f\left( x \right)} = -\infty</math>이면 직선 <math>x = a</math>를 함수 <math>f</math>의 '''수직점근선'''이라 한다.

> <math>\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm\infty} {f\left( x \right)} = \pm\infty</math>이고 <math>\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} {\left[ f\left( x \right) - \left( mx+n \right) \right]} = 0</math> 또는 <math>\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} {\left[ f\left( x \right) - \left( mx+n \right) \right]} = 0</math> 이면 직선 <math>y = mx+n \left( m \neq 0 \right)</math>를 함수 <math>f</math>의 '''사선점근선'''이라 한다.
=== 남용과 시련의 역사 ===
고등학교 문제를 풀고 있으면 왠지 꼼수로 문제를 풀어나간다는 생각을 지우기가 힘든데, 솔직히 분모에 <math>0</math>이 들어가면 안된다는, 이때까지 깨뜨리면 안된다고 알고 있었던 절대적인 명제를 '한 수에 한없이 다가간다'는 이도 저도 아닌 [[궤변]]으로 때워버렸다고 느낄 수도 있는 것이다. 실제로 고등학교에서 사용하는 문제들은 아무리 어려워봤자 '''간단한''' 고등 미적분 적용을 위한 미적분 기본문제 정도일 뿐으로 --[[수포자|잠깐 눈물 좀 닦고]]-- 만일 제대로 된 접근 없이 고딩 미적분을 현실에 응용했다가 들어맞지 않는 경우도 많다.

미적분의 개념이 제시될 당시, 그러니까 함수와 극한의 개념이 모호해 '''무한소'''라는 개념으로 때워버렸을 당시에 많은 학자들이 혁명적인 개념이었던 [[미적분]]을 엄청나게 사용했다. 그러다가 미적분을 적용해서는 안될 식에서조차 적용해버려 결국 이상한 값이 나와버리는, 한마디로 ~~[[주화입마]]~~ [[미적분]] [[만능주의]]에 걸려버린 것. 그를 대체하기 위해 극한이 나왔지만 역시 빈틈이 많았던 건 매한가지였다. 직관력에 있어 타의 추종을 불허했던 [[레온하르트 오일러|오일러]]는 활발히 극한을 사용했지만 '''직관력만 좋아서'''(...) 무한소 개념에 대해 이견을 표시하지 않은 채 극한만 그대로 사용했다고 한다.

그렇게 미적분의 맹점이 몇 가지 발견되면서 비판이 나왔고, 특히 [[롤의 정리]]를 발견한 미셸 롤과 [[UC 버클리]]라는 이름의 근원이 된 조지 버클리[* 아일랜드의 신학자인데 광학과 경험주의 철학, 성공회 신학의 권위자였다.]가 맹렬히 비판했는데, 특히 버클리는 '사라진 값들의 유령'(the Ghosts of departed quantities)이라는 표현까지 빌려와 신랄하게 까내렸다.

예를 들어, <math> \displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}{ \frac{ \left( x - 1 \right) ^2 }{ x - 1 } } </math>의 극한을 구하는 경우를 생각해 보자. <math> x \rightarrow 1 </math> 일때 <math> \left( x - 1 \right) \rightarrow 0 </math>이지만 <math> \left( x - 1 \right) \ne 0 </math>이라고 <math> \left( x - 1 \right) </math> 을 약분해서 <math> \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 1 }{ \left( x - 1 \right) } </math> 로 만들고, <math> x \rightarrow 1 </math> 일때 <math> \left( x - 1 \right) \rightarrow 0 </math>이라고 극한을 <math>0</math>이라고 했다. 앞에는 <math>0</math>으로 가까이 가지만 <math>0</math>은 아니라고 약분 했다가, 뒤에는 <math>0</math>으로 놓아 버린다. 앞과 같은 논리라면 <math> \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 1 }{ \left( x - 1 \right) } </math>는 <math>0</math>으로 가까이 가는거지 <math>0</math>은 아닌 게 된다.

그래서 이 같은 논리를 설명하기 위해 코시나 바이어슈트라스 같은 사람이 극한의 엄밀한 정의를 내놓는다.

=== '''진정한''' 정의 : '''엡실론-델타 논법''' ===
[include(틀:넘겨주기(문단)2, n1=엡실론 - 델타 논법, n2=입실론 델타)]

[[수학 갤러리]]의 [[http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=48306|개념글]]
드디어 18세기 수학자 [[코시]]가 엡실론 - 델타(<math> \varepsilon - \delta </math>) 논법을 꺼내들었다! 그야말로 철저하고 빈틈없는 정의로 이해만 하면 극한은 물론이고 다른 극한용 정리의 증명까지 쉽게 만들어 버릴 수 있는 최종무기나 다름없다. 물론 '''이해만 하면.''' [[바이어슈트라스]]에 의해 고안되었다.

먼저, 엡실론-델타 논법을 사용해 새로 쓴 극한의 정의를 보자.
> '''<math> \displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{ f \left( x \right) } = L \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \left( 0 < \left| x - a \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - L \right| < \varepsilon \right) </math>'''

아래는 위키니트들을 위해 자연어로 작성된 좀 더 쉬운(?) 설명.

> <math> x </math>에 대한 함수 <math> f \left( x \right) </math>가 있을 때,
> 임의의 양수 <math> \varepsilon </math>에 대해 적당한 양수 <math> \delta </math>가 존재하여
> <math> 0 < \left| x - a \right| < \delta </math>이면 <math> \left| f \left( x \right) - L \right| < \varepsilon </math>가 될 때,
> <math> x \to a </math>일 때 함수 <math> f \left( x \right) </math>의 극한값을 <math> L </math>이라고 정의한다.
> 이때, 함수 <math> f \left( x \right) </math> 는 <math> x \rightarrow a </math>에서 <math> L </math>에 수렴한다고 하며,
> <math> \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } = L </math>이라고 한다.

수식을 자연어로 표현했을 때 얼마만큼이나 복잡해지는지를 알 수 있다. 물론 자연어를 수식으로 표현해도 복잡한 건 마찬가지라는 것도 알 수 있다.

엄밀하게 정의하고 증명하고 넘어가는 방식을 채택하고 있는 대한민국 교육과정마저도 [[미적분]] 부분에 있어선 증명하지 않고 넘어가는 게 많은데, [[해석학]]의 엡실론 - 델타 논법 때문이다! 하지만, 다시 말해서 이거 가지고 해석학 이거저거 다 증명한다는 소리이므로 이걸 이해하는 것이 해석학에 있어서는 '''필수'''라는 것. 당연히 충분히 공부한 수학과 학생은 다 이것을 이해하고 있으며 이 정의가 굉장히 도움된다는 것을 느낄 수 있을 것이다. 굳이 수학과가 아니어도 어지간한 이공계 학생들이라면 대학에 입학하자마자 기초 미적분학의 첫 단원에서 이 논법을 만나게 된다.

이 논법이 충격으로 다가오는 이유는 처음 보는 사람들에게 있어서 언뜻 보기에 난해하기 때문이다. 위의 수학 갤러리 글에서도 나오듯이 '이해하기도 애매'하고, '왜 쓰는지 이해가 안 된다'는 것이 논법의 이해에 방해를 준다.

엡실론과 델타는 각각 error와 distance를 의미한다고 한다. error는 오차, distance는 거리라는 뜻이다.
==== 설명 ====

> 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 적당한 <math>\delta>0</math>가 존재하여 <math>0<\left|x-a\right|<\delta</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>가 될 때,

가장 문제가 되는 부분이라면 역시 [[엡실론]] - [[델타]] 논법인 만큼 이 부분이 가장 큰 문제. 일단,

* '''임의의 <math>\varepsilon>0</math>'''이라는 말은 <math>\varepsilon</math>이 어떤 양수여도 된다는 뜻이다. 거기에 적절한 <math>\delta>0</math>가 존재하여 저 조건을 만족시키기만 하면 된다.

* 절댓값이 접근을 어렵게 하는 부분이 있는데, <math>\left|x-a\right|<\delta</math>라는 것은 <math>x</math>에서 <math>a</math>까지 거리가 델타보다 작다는 것이고(하지만 <math>0<\left|x-a\right|</math>니까 <math>x</math>가 <math>a</math>와 같지는 않다), <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math> 는 <math>f\left(x\right)</math>에서 <math>L</math>까지의 거리가 엡실론보다 작다는 의미. 절대값의 표기는 편리를 위함이니 걸리적거리면 풀어버려 <math>x</math>와 <math>f\left(x\right)</math>에 대한 부등식으로 만들어도 된다.

* <math>0<\left|x-a\right|</math> 는 <math>x</math>가 <math>a</math>에 접근하지만 <math>x=a</math>인 것은 아니라는 말의 수학적 표현.

* <math>x\to a</math>로 갈때 <math>f\left(x\right)</math>가 어디로 가는가를 생각하면 안된다. 거꾸로 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|</math>에 대한 값을 생각하고 그에 따라 <math>\delta>0</math>값을 찾아야 한다. 이 논법은 극한의 존재성에 대해 논하는 것이지, 극한값을 찾는데 그 목적이 있는게 아니다.

즉, 위의 정의를 풀어 설명하면,
> <math>{\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right)=L</math>이라는 것은, 양수 <math>\varepsilon</math>이 아무리 작아도 그에 따라 적절한 양수 <math>\delta</math>가 존재하여, <math>x</math>와 <math>a</math>의 거리가 <math>\delta </math>보다 작기만 하면(하지만 정확히 <math>a</math>는 아니면) 항상 <math>f\left(x\right)</math>와 <math>L</math>의 거리가 <math>\varepsilon</math>보다 작게 된다는 뜻이다.
더 쉽게 설명하자면,
> <math>{\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right)=L</math> 이라는 것은, 양수 <math>\varepsilon</math>을 아무리 작게 만들어도 <math>a</math> 근처에서는 <math>f\left(x\right)\in\left(L-\varepsilon,\,L+\varepsilon\right)</math>라는 뜻이다.

이래도 안된다면, [[http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=47211&page|한 수학갤러의 비유를 읽어보자.]]
핵심은 양수 엡실론에 비해 거기에 대응하는 어떠한 x값을 설정해도 그보다는 작다는 것이다.

[[세상에서 가장 재미있는 세계사]]로 유명한 수학 석사 '래리 고닉'의 또 다른 저서 '세상에서 가장 재미있는 미적분'(원제:The Cartoon Guide to Calculus)에서는 적절한 구간 내에서 어떤 <math>\varepsilon</math>값이라도 그에 해당하는 <math>\delta</math>값을 보여줄 수 있다는 식으로 설명해 놓았다.

==== 또 다른 설명 ====
[[http://sos440.tistory.com/17|출처]]

먼저, 처음의 애매한 문장으로 돌아가 보자.

> <math>x</math>가 <math>a</math>에 한없이 가까울 때, <math>f\left(x\right)</math>의 값도 <math>L</math>에 한없이 가깝다.

'한없이 가깝다'가 수학적으로는 의미가 명확하지 않으니, 잘 정의되도록 해야 한다.
* 가깝다와 멀다를 확실히 말하려면, 특정한 기준이 존재해서 그 기준보다 작으면 가깝다, 그 기준보다 크면 멀다라고 할 수 있어야 한다.
그 기준을 양의 실수 <math> \epsilon </math>이라고 정의하자.
* '한없이 가까울 때'는, '<math>x</math>와 <math>a</math>의 차이가 얼마나 작은 값이든'이란 말과 같다. 즉, '어떤 임의의 기준을 잡아도'로 해석할 수 있다.
그러면 이제 주어진 문장은 이렇게 바뀐다.

> 양수 <math> \epsilon </math>의 값이 무엇이든 간에, <math>x</math>가 <math>a</math>에 한없이 가까우면 <math> \left| f \left( x \right) - L \right| < \epsilon </math> 이다

'<math>x</math>가 <math>a</math>에 한없이 가까우면'도 기준 <math> \delta > 0 </math>을 선언해서 위와 비슷한 방식으로 바꿀 수 있다. 하지만 <math>f\left(x\right)</math>가 <math>L</math>에 가까워지고 멀어지는 것은 <math>f\left(x\right)</math>의 성질과 <math> \epsilon </math>의 선택에 달려 있기 때문에, <math> \delta </math>는 먼저 선언된 <math> \epsilon </math>을 무시할 수 없다. 따라서 <math> \epsilon </math>에 따른 <math> \delta </math>를 적당히 잡을 수 있다면 최종 문장은 아래와 같다.

> 임의의 실수 <math> \epsilon > 0 </math>에 대해, 적당한 실수 <math> \delta > 0 </math> 가 존재해서, <math> 0 < \left| x - a \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - L\right|< \epsilon </math> 이다

이는 처음에 소개된 정의와 일치한다.

더 간단히 이야기 하자면, 엡실론 델타의 핵심은 '''두 수의 차이를 줄이는것'''이다. 다만 차이를 줄이고자 하는 비교대상이 '''셀수도 없이 많은 양수[* 무한대도 셀 수 있는 무한이 있고 셀수 없는 무한이 각각 존재한다, 그중 양수는 셀 수 없는 무한에 해당한다] <math> \epsilon </math>''' 이기때문에... 각각에 대해 다 비교를 할 수 없기에 아무거나 찍어서 되게 만들수 있는지를 확인하는것이다.
==== 예시 ====
* <math> \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 3 }{ \left( 2x - 1 \right) } = 5 </math> 임을 보여라.
일단 <math>2x-1</math> 이라는 함수에 대해, 극한값 <math>5</math>[* 이 극한값을 알아내는 것은 그래프를 이용하여 직관적으로 찾든, 연속을 이용하든 가능하다. 엡실론 델타 논법은 왜 하필 <math>5</math>이냐를 증명하는 과정이다.]와의 거리를 생각하면 <math>\left| \left(2x-1\right) - 5 \right| = 2 \left|x-3\right|</math> 이다. 이제 우리의 목적은, "<math>0<\left|x-3\right|<\delta</math> 이면 <math>2\left|x-3\right|<\epsilon</math>" 이 되는 <math>\delta</math>를 찾는 것이다. 이 때 <math>\delta = \epsilon/2</math> 로 놓으면 된다는 것을 쉽게 알 수 있다.

따라서 임의의 양의 실수 <math>\epsilon</math>에 대하여 <math>0<\delta=\epsilon/2</math> 이라 두면, <math>0 <\left|x-3\right|<\delta</math>일 때 <math>\left|\left(2x-1\right) - 5\right| < \epsilon</math> 이 된다. 따라서 <math> \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 3 }{ \left( 2x - 1 \right) } = 5 </math> 이다.

=== 무한 그 너머로 ===
<math>x</math>가 발산하는 경우[* 쉽게 말하면, 양의 무한대나 음의 무한대로 가는 경우.]에 대해서도 극한을 정의할 수 있다.
> <math> \displaystyle \lim_{ x \rightarrow \infty }{ f \left( x \right) } = L </math>
또는
> <math> \displaystyle \lim_{ x \rightarrow - \infty }{ f \left( x \right) } = L </math>
라는 식으로, 간단히 <math>x</math>가 끝없이 커지거나 작아질 때, <math>f\left(x\right)</math>는 <math>L</math>에 접근한다는 뜻.[* 엄밀하게 말하자면, 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여 <math>x>N</math> 이면 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\epsilon</math>인 <math>N</math>이 존재한다. 위 엡실론-델타 논법 또는 수열의 극한과 유사하다.] 한가지 예제로,

{{{+1 <math>\displaystyle \lim_{ x \rightarrow \infty }{ \frac{4x^2 + x + 3}{-3x^2 + 2x - 8} } </math> }}} 에서 만일 모르고 본다면 분자분모 모두 무한히 커지고 있어 [[답이 없다|답이 없어]] 보이겠지만, 일단 절대 무한이 '''아니고''', 그냥 '''수'''이기 때문에 비율이 존재한다. 답은 <math>-4/3</math>.

=== 수렴과 발산 ===
* 수렴 : 한 점으로 모인다는 뜻. 보통 의견 수렴이라든지 여론 수렴 등등으로 해서 한 점에 모인다는 의미로 사용하는 경우가 많은데, 이 뜻을 수학으로 빌려와서 여러 값이 기어코야 한 값으로 모이게 되었다는 의미로 사용한다. 즉 <math>x</math>가 <math>a</math>에 한없이 가까워지거나 한없이 커지거나 작아지면 <math>f\left(x\right)</math>도 어디로 한없이 가까워진다는 뜻.

* 발산 : 어떤 값으로 가까워지는지 모르거나 계산할수 없다는 뜻. 수렴하지 않으면 발산한다. 수열이 계속 커지는 양의 무한대로 발산, 수열이 계속 작아지는 음의 무한대로 발산이 있다.
> <math>\displaystyle \lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty</math> , <math>\displaystyle \lim_{x\to0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty</math>

양의 무한대로 발산하지도 않고, 음의 무한대로 발산하지도 않는 발산을 진동이라 한다. 예를 들자면 <math>1,\,-1,\,1,\,-1,\ldots</math> 식으로 <math>1</math>과 <math>-1</math>이 반복되는 경우도 발산이다.
=== 성질 ===

고등학교 과정에서는 간단히 이러이러하다고 얼렁뚱땅 넘겼겠지만, 대학교 [[해석학]]에서는 저걸 '''모두 다 증명한다.''' 그리고 엡실론-델타가 존재하지 않으면 사실상 증명이 골룸해진다. 공식의 증명은 스스로 해 보거나 대학교 해석학 교재를 참고하자.
덤으로 이야기하자면, 모든 실수 값에서 연속이면서 모든 실수 값에서 미분 불가능한 실수 함수가 존재하는데,[* 물론 [[초등함수]]는 아니고, 무한급수를 사용해 표시한다.] 이걸 증명할 때도 엡실론-델타가 필요하다.
다변수 함수/다차원 공간 등으로 가면 개/폐구간의 정의, 경계의 정의 등도 엡실론-델타를 이용해 정의한다.

<math>\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } = \alpha </math>, <math>\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ g \left( x \right) } = \beta </math> (<math>\alpha, \beta </math>는 실수)라고 한다면, 아래의 법칙들이 성립한다.

* <math>\displaystyle \left\{ \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } = \alpha' \right\} \Longleftrightarrow \left( \alpha' = \alpha \right) </math>
* <math>\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ k } = k </math>
* <math>\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ \left\{ k f \left( x \right) \right\} } = k \left\{ \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } \right\} = k \alpha </math>
* <math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\left\{ f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\} =\left\{ \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\right\} \pm\left\{ \lim_{x\rightarrow a}g\left(x\right)\right\} </math>
* <math>\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ \left\{ f \left( x \right) g \left( x \right) \right\} } = \left\{ \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } \right\} \left\{ \lim_{ x \rightarrow a }{ g \left( x \right) } \right\} = \alpha \beta </math>
* <math>\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ \frac{ f \left( x \right) }{ g \left( x \right) } } = \frac{ \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } }{ \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ g \left( x \right) } } = \frac{ \alpha }{ \beta } \left( \beta \ne 0 \right) </math>

참고로, 함수의 극한에 대한 성질은 극한값이 존재할 때만 성립한다. 또한, 이 성질은 우극한과 좌극한일 경우와 <math>x</math>를 무한대로 보낸 경우에도 성립한다.

=== 조임 정리(Squeeze Theorem) ===
'''샌드위치 정리'''(Sandwich theorem)이라고도 불린다. 왠지 장난 같은 이 용어가 실제로 학계에서 쓰이는지 알수는 없으나 어쨌든 한국 학생, 교사들이 자의적으로 만들어낸 건 아니고 영미권에서도 쓰이는 용어이다.

함수중에서 어떤 값에 의해 유계되며 진동하는 함수나 그러한 함수의 극한값을 직접 구하는 것은 힘들다. 하지만 그 함수와 같은 극한값을 가지는 두 함수 사이에 존재한다면 함수의 극한값을 구하는 것이 가능하다. 이거 이용해서 그 유명한 <math> \displaystyle \lim_{\theta \rightarrow 0}{\frac{\sin \theta}{\theta}} = 1 </math>을 증명할 수 있다. 관심있는 위키러라면 한 번씩은 꼭해보는것을 추천한다.
> 함수 <math> f, g, h </math>가 <math> x \neq c </math>인 점 <math> c </math>를 포함하는 개구간에 있는 모든 <math> x </math>에 대하여 <math> g \left( x \right) \leq f \left( x \right) \leq h \left( x \right) </math>이고 <math> \displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{ g \left( x \right) } = \displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{ h \left( x \right) } = L</math>이면, <math> \displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{ f \left( x \right) } = L</math>이다.
==== 예시 1 ====
* 알다시피 <math> \cos \left(\frac{1}{x}\right) </math>은 <math> 1 </math>보다 작고 진동한다. 그렇다면 <math> \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{x^2 \cos \left(\frac{1}{x}\right)} </math>의 극한값을 구해 보자.
* 모든 <math>x(\neq0)</math>에 대하여 <math>-1 \leq \cos \left(\frac{1}{x}\right) \leq 1</math>이다. 또한 <math>x^2</math>을 모든 식에 곱하여도 부등호의 변화가 없음으로 <math>-x^2 \leq x^2 \cos \left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2</math>이다. <math>\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{-x^2} = 0 = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{x^2}</math>이므로 조임 정리에 의해 <math>\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{x^2 \cos \left(\frac{1}{x}\right)} = 0</math>이다.

=== [[로피탈의 정리]](l'Hôpital's rule) ===
'''극강의 비기.''' [[로피탈의 정리|해당문서]] 참고. 근데 이건 미분과도 관련이 있으니 [[미분]] 항목도 참조.

== [[함수#s-1.6.2|이변수 함수]]와 [[함수#s-1.6.3|다변수 함수]]의 극한 ==
이변수 함수의 극한은 <math> \displaystyle \lim_{\left( x, y \right) \rightarrow \left( a, b \right) }{f \left( x, y \right) } = L</math>이라 쓴다. 대략적인 뜻은 <math> \left( x, y \right) </math>가 한없이 <math> \left( a, b \right) </math>에 가까워질 때 <math> f \left( x, y \right) </math>이 한없이 <math> L </math>에 가까워진다는 뜻이다.

일변수 함수에서는 <math> x </math>가 <math> a </math>에 가까워지는 방법이 좌극한과 우극한으로 딱 두가지 밖에 없었다. 하지만 평면에서 점 <math> \left( x, y \right) </math>가 점<math> \left( a, b \right) </math>로 가까워지는 방법은 무한히 많다. 굳이 직선경로를 따라가며 가까워질 필요가 없기 때문이다. 따라서 점 <math> \left( x, y \right) </math>가 이 무한한 수의 경로를 따라 <math> \left( a, b \right) </math>에 가까워 지면 그러한 경로에 따른 함숫값 <math> f \left( x, y \right) </math>가 모두 <math> L </math>에 가까워져야 한다.
=== 이변수 함수에서의 정의 ===
위에 나와있는 직관력만 무한히 좋은 극한의 정의는 수학에서는 좋아하지 않으니 코시의 엡실론 델타로 다시 정의해야 한다. 하지만 코시의 엡실론 - 델타 논법은 일변수 함수에서의 극한이므로 그대로 적용하여 정의하기는 힘들다. 코시의 엡실론 델타를 변형시켜서 적용하면 다음과 같다.
> 이변수 함수 <math> f </math>는 중심이 <math> \left(a, b \right) </math>인 원의 내부에서 정의된다고 하자. 이때 <math> \displaystyle \lim_{\left( x, y \right) \rightarrow \left( a, b \right) }{ f \left( x, y \right) } = L</math>이란 임의의 <math> \varepsilon > 0 </math>에 대하여 적당한 <math> \delta > 0 </math>가 존재하여 <math> 0 < \sqrt{\left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 } < \delta </math>이면 <math>| f \left( x, y\right) - L | < \varepsilon </math>이 성립한다는 의미이다. 이때 <math> L </math>을 <math> \left( x, y\right) = \left( a, b \right) </math>에서의 극한값이라 부른다.

=== 거리 공간에서의 정의 ===
두 거리 공간 <math>\left(X, d_X\right), \left(Y, d_Y\right)</math>이 있을 때, 함수 <math>f:X\to Y</math>의 극한은 다음과 같이 정의한다.(<math>a\in X, \,L\in Y</math>)
<math> \displaystyle \lim_{x\to a}{f \left( x \right) } = L</math> <math>\Longleftrightarrow</math> 임의의 <math> \varepsilon > 0 </math>에 대해 <math> \delta > 0 </math>가 존재하여 <math>d_X\left(x, a\right)<\delta</math>인 모든 <math>x\in X</math>에 대해 <math>d_Y\left(f\left(x\right), L\right)<\varepsilon</math>
=== 위상 공간에서의 정의 ===
두 [[위상 공간]] <math>\left(X, \mathcal{T}_X\right), \left(Y, \mathcal{T}_Y\right)</math> 사이에서 정의된 함수 <math>f:X\to Y</math>의 극한은 다음과 같이 정의한다.(<math>a\in X, \,L\in Y</math>)
<math>a</math>가 <math>X</math>의 극한점들의 집합<math>\Omega</math>의 원소이고 <math>Y</math>는 하우스도르프 공간(Hausdorff space)일 때 <math> \displaystyle \lim_{x\to a}{f \left( x \right) } = L</math>이라고 함은 <math>L</math>의 임의의 근방(neighbourhood) <math>V</math>에 대하여 <math>a</math>의 빠진 근방(punctured neighbourhood) <math>U</math>가 존재하여 <math>f\left(U\cap \Omega\right) \subseteq V</math>가 성립하는 것이다.

[[분류:해석학]][[분류:수학 용어]]

극한 - 편집 역사

2017년 1월 23일 (월) 10:29에 Maintenance script님의 편집