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期待값[* 기대치(期待値)라고도 한다.], expected value
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== 개요 ==
어떤 확률 과정을 무한히 반복했을 때, 얻을 수 있는 값의 평균으로서 기대할 수 있는 값. 보다 엄밀하게 정의하면 기댓값은 확률 과정에서 얻을 수 있는 모든 값의 가중 평균이다.

== 정의 ==
=== 이산 확률 변수 ===
이산 확률 변수 <math>X</math>의 확률분포표가 다음과 같다고 하자. (<math>p\left(x\right)</math>는 확률 질량 함수)
|| <math>X</math> ||<math>x_1</math>||<math>x_2</math>||||<math>\cdots</math>||<math>x_n</math>||
|| <math>p\left(x\right)</math> ||<math>p_1</math>||<math>p_2</math>||||<math>\cdots</math>||<math>p_n</math>||
이때 이산 확률 변수 <math>X</math>의 기댓값은 <math>\text{E}\left(X\right)</math>와 같이 나타내고 다음과 같이 정의한다.
<math>\displaystyle \text{E}\left(X\right)=\sum_{i=1}^{n}{x_ip_i}</math>
이산 확률 변수 <math>X</math>가 취하는 값의 개수가 무한한 경우, 즉 자연수 집합과 일대일 대응 되는 경우에도 비슷하게 정의된다.
<math>\displaystyle \text{E}\left(X\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{x_ip_i}</math>
단, 이 [[급수(수학)|급수]]는 절대수렴해야 한다. 이 급수가 절대수렴하지 않는 경우에는 기댓값이 존재하지 않는 것으로 본다.

=== 연속 확률 변수 ===
연속 확률 변수 <math>X</math>의 확률 밀도 함수가 <math>f\left(x\right)</math>라고 할 때 <math>X</math>의 기댓값은 다음과 같이 정의한다.
<math>\displaystyle \text{E}\left(X\right)=\int_{-\infty}^{\infty}xf\left(x\right)dx</math>
이 적분은 [[이상적분]]이고, 이 적분값이 존재하지 않으면 마찬가지로 기댓값도 정의되지 않는다.

=== 응용 ===
어떤 함수 <math>g</math>에 대해 <math>g\left(X\right)</math>의 기댓값, 즉 <math>\text{E}\left(g\left(X\right)\right)</math>는 다음과 같이 정의된다.
* 이산 확률 변수 : <math>\displaystyle \text{E}\left(g\left(X\right)\right)=\sum_{i=1}^{n}{g\left(x_i\right)p_i}</math>
* 연속 확률 변수 : <math>\displaystyle \text{E}\left(g\left(X\right)\right)=\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)f\left(x\right)dx</math>

예를 들어 <math>X</math>의 분산 <math>\text{V}\left(X\right)</math>는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
<math>\text{V}\left(X\right)=\text{E}\left(\left(X-\text{E}\left(X\right)\right)^2\right)=\text{E}\left(X^2\right)-\left\{\text{E}\left(X\right)\right\}^2</math>

== 성질 ==
상수 <math>a</math>의 기댓값은 <math>a</math>이다.
* <math>\text{E}\left(a\right)=a</math>

기댓값은 선형성을 가진다. 즉, 다음이 성립한다. (<math>X, Y</math>는 확률변수, <math>a</math>는 상수)
* <math>\text{E}\left(X+Y\right)=\text{E}\left(X\right)+\text{E}\left(Y\right)</math>
* <math>\text{E}\left(aX\right)=a \text{E}\left(X\right)</math>

확률변수 <math>X, Y</math>가 서로 독립일 경우에는 다음의 성질도 성립한다.
* <math>\text{E}\left(XY\right)=\text{E}\left(X\right)\text{E}\left(Y\right)</math>

[[분류:통계학]][[분류:확률론]]

기댓값 - 편집 역사

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