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[include(틀:다각형)]

[목차]

== 개요 ==
多各形, [[폴리곤|Polygon]]

[[기하학]]에 등장하는 2차원 [[도형]]의 일종.

사전적 정의는 '2차원 평면 내에 존재하면서 오로지 선분으로만 이루어진 도형'. 좀 더 정확하게는 '한 평면 위에 있으면서 유한 개의 선분들이 차례로 이어져 이루어진 경로'라고 정의된다. '모서리'가 되는 각 선분이 만나는 '꼭지점'에 '각'이 반드시 형성되기 때문에 다각형이라는 이름이 붙었다.

기하학에서 '한 면'이 성립할 수 있는 조건들 중에는 '꼭지점이 세 개'인 경우나 세 직선이 한 점이 아닌 지점에 서로 만날 경우가 있다. 따라서 2차원 평면에서 존재할 수 있는 가장 적은 수의 다각형은 삼각형이다. 그렇기에 일각형과 이각형은 2차원 평면에서 존재할 수 없으며, 3차원 구면좌표에서 이론적으로나마 표현이 가능하다.[* 전문 용어로는 두 변이 만나거나, 변이 점이 될 수밖에 없다 하여 축퇴된다고 하기도 한다.] 마찬가지로, 내각이 360도가 되는 삼각형도 2차원 평면에서 구현할 수 없고 3차원 구면좌표에서나 표현할 수 있다.

다각형의 내각 중 하나가 180도를 넘어가면 그것을 오목다각형, 그 외의 것을 볼록다각형이라고 칭하기도 한다. 오목다각형은 각(=모서리)의 수가 4개 이상인 경우에만 존재할 수 있다.

어떤 다각형의 모든 꼭짓점이 [[원]]에 접하면 이것을 내접다각형이라고도 한다.

특히 모든 변의 길이와 각의 크기가 같은 다각형을 '정다각형'이라고 하는데, n이 무한대로 발산하면 정다각형은 모든 점에서의 곡률이 같은 폐곡선인 [[원]]에 가까워진다. 물론 n이 3 이상의 임의의 자연수인 경우엔 항상 각이 존재하며, 이는 정의 상 원이라 할 수 없으므로 원 자체라고는 할 수 없다([[극한]] 항목 참고.).

== 공통 성질 ==
* 말 그대로, 곡면이 없다.
* 모서리의 수 = 각의 수라는 등식이 항상 성립하며, 이에 따라서 다각형은 n개(n은 자연수)의 모서리와 각을 가진다.
* 대각선의 수는 n(n-3)/2.

이 밑의 성질은 사전적 정의에서는 깨진다. 예를 들어 삼각형 구멍이 있는 삼각형은 사전적 정의로는 육각형으로 내각의 합이 1080도, 외각은 0도가 되지만, 경로로 다각형을 정의하면 이 도형은 다각형이 아니다. 비유클리드 기하학에서도 마찬가지로 깨진다.
* [[내각]]의 합은 (n-2) * 180도.
* 외각의 합은 항상 360도.

== 다각형의 분류 ==
* 볼록다각형(convex polygon) : 수학적 정의로는 다각형을 가로지르는 모든 선 하나가 다각형과 교점을 2개 갖는다는 걸 의미한다. 여기에서 모든 각이 180도보다 작은 다각형이라는 결론이 나온다.
* ''볼록하지 않은'' 다각형(non-convex polygon) : 다각형을 가로지르는 어떤 선 하나라도 교점이 3개 이상인 다각형. 필수적으로 한 각은 180도를 넘게 된다.
* ''간단한'' 다각형(simple polygon) : 모든 변들이 서로 가로지르는 변이 없는 다각형.
* ''복잡한'' 다각형(complex polygon) : 한 변이라도 서로 가로지르는 다각형. 삼각형 두개를 꼭짓점 하나로 이어져있는 것을 생각해보면 된다.
* 오목다각형(concave polygon) : 볼록하지 않으면서 간단한 다각형. 마찬가지로 한 각 이상 180도를 넘는다.
* 정다각형 : 모든 각의 크기가 같고, 모든 변의 길이가 같은 다각형.
* 오목 정다각형(정다각별) : 위 정의에 따르면, 정오각형의 꼭지점을 한 번씩 건너 뛰어 연결하면 만들어지는 도형인 정오각별과 같은 ''별 다각형''도 정다각형에 속한다.
=== [[슐레플리 부호]] ===
정다각형은 {n} 기호를 사용해서 그 정다각형을 나타내는 기호를 나타낼 수 있다. 이것을 슐레플리 부호라고 한다.[* 물론 정다각형에서 끝낼 거면 이 부호는 만들지도 않았다. 이 부호는 [[정다면체]], 나아가 '''n차원''' 정다포체에도 쓸 수 있다.] 여기서 n은 변의 개수를 의미한다. 오목 정다각형은 {n/m} 꼴로 표현하는데, 여기서 m은 이 다각형에서 꼭지점을 이을 때 m-1개의 꼭지점을 건너뛰어 연결한다는 뜻이다.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Star_polygon_5-2.svg/200px-Star_polygon_5-2.svg.png
예를 들어, 이 도형은 꼭지점 5개를 한 칸씩 건너 뛰어 만들어진 [[정오각별]]로, {5/2}이다. 꼭지점이 7개인 정다각별은 두 가지가 존재하는데, 각 꼭지점을 한 칸씩 건너뛰어 연결한 {7/2}와 두 칸씩 건너뛰어 연결한 {7/3}이 존재한다. 또다른 예로, 꼭지점이 9개인 정다각형은 두 가지가 존재한다. 꼭지점을 한 번 건너뛰어 연결하면 {9/2}가 만들어지며, 꼭지점을 두 번 건너뛰면 {9/3}이 나오는데, {9/3}는 정삼각형과 같다. 꼭지점을 세 칸 건너뛰어 연결하면 {9/4}가 만들어진다.
== 일상 생활에서 자주 사용하는 다각형 ==
* [[삼각형]]
* [[사각형]]
* [[오각형]]
* [[육각형]]
* [[칠각형]]
* [[팔각형]]
* [[구각형]]
* [[백각형]]
* [[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%A1%EB%A7%8C%EC%98%A4%EC%B2%9C%EC%98%A4%EB%B0%B1%EC%82%BC%EC%8B%AD%EC%B9%A0%EA%B0%81%ED%98%95|육만오천오백삼십칠각형]][* 웃기기 위한 개그성 도형인 듯 싶지만, 이 도형은 '소수 p에 대하여 p각형의 작도가 가능하면, p는 [[페르마 소수]]이다'라는 명제를 증명하는 데 쓰였던 도형이다. 실제로 65537은 페르마 소수이다. 참고로 이 명제를 증명한 사람이 바로 [[수학]]의 황제 [[카를 프리드리히 가우스]]다.]
== 관련 항목 ==
* [[다면체]]

[[분류:기하학]]

다각형 - 편집 역사

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