https://tcatmon.com/w/index.php?action=history&feed=atom&title=%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4 2026-06-16T17:35:05Z 이 문서의 편집 역사 MediaWiki 1.28.0 https://tcatmon.com/w/index.php?title=%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4&diff=60681&oldid=prev 2017-01-25T09:38:35Z

<p></p> <p><b>새 문서</b></p><div>[Include(틀:다면체)]<br /> [목차]<br /> <br /> 多面體/Polyhedron<br /> <br /> == 개요 ==<br /> [[기하학]]에 등장하는 3차원 [[도형]]의 일종.<br /> <br /> 사전적 정의는 '평면 다각형으로 둘러싸인 입체도형'으로 평면위에 있지 않은 도형이다. [* 그렇기에 일면체부터 삼면체까지는 3차원 공간에서 존재할 수 없다. 전문 용어로는 축퇴된다(degenerate)고 하기도 한다.] <br /> <br /> 현대 수학에서 상식적으로 다면체인 물건을 포괄할 수 있는 엄밀한 정의는 존재하지 않는다. [[유클리드]]부터 시작해서 [[케플러]], [[푸앵소]], [[코시]] 등 시도한 수학자들은 많은데 결과는 영 좋지 않았다. 그래서 우리는 다행히도 직관적으로만 이해하면 된다.<br /> <br /> 다면체는 이들의 구성요소로 이루어진 도형이다.<br /> * 0차원: 꼭지점은 변이 끝나는 점이다.<br /> * 1차원: 변 또는 모서리는 꼭지점과 꼭지점을 연결하는 선이며, 면과 면의 경계선이기도 하다.<br /> * 2차원: 면은 변들로 둘러싸여 있으며, 대체로 다각형이라는 평면 도형의 형태를 취한다.<br /> * 3차원: 포(cell) 혹은 내부(body)는 면들로 둘러싸인 안쪽 부분을 말한다.<br /> <br /> 모든 변이 같은 정다각형이고, 꼭지점에 같은 수의 다각형이 모이는 다면체를 [[정다면체]]라고 한다. [* 꼭지점에서 만나는 다각형의 수가 다른 경우에는, 예를 들어 정사면체를 두개 붙인 도형 등은, 인정하지 않는다.] 정다각형이 무한히 많은 것과 대비되게 정다면체는 다섯밖에 없다. 자세한 것은 항목 참고. [* 정의에 따라 오목한 정다면체 4개가 들어갈 수 있다.]<br /> <br /> 반면에 일반적 다면체의 모양은 상상을 초월하도록 다양하게 나올 수 있다. 사면체는 각 면의 다각형의 수를 보았을때 한가지 형태만 있지만 오면체부터는 두개 이상이 있다. 육면체의 경우 [[큐브|정육면체]]나 [[직육면체]]를 잡아 늘린 도형, 오각뿔, 삼각쌍뿔의 세 종류이다. 이런 식으로 계속 올라가다보면 [[혐오]](...)스러울 정도로 복잡한 다면체를 만날 수 있다.<br /> <br /> 다면체를 임의의 차원으로 확장한 폴리토프(Polytope)는 'n차원 공간 내에 존재하면서 오로지 (n-1)차원 공간의 면으로만 이루어진 도형'으로 생각할 수 있다. 웬만한 위키러들은 n이 4만 넘어가도 지끈지끈할 것이다.<br /> <br /> 고대부터 현재까지 정말로 많은 연구가 진행된 분야이며, 이건 [[입체]]기하학의 주요 주제 중 하나다.[* 물론 거의 모든 연구가 끝났지만 이제 [[위상수학]]으로 옮겨가고 있다?] 깊이 파고들면 매우 흥미로운 분야이다. 다른 수학분야보다 비교적 쉽고 간단해 덕질의 분야로 손색이 없다. --깊게 파려면 언어의 장벽을 해치워야 한다-- 여러 다면체에 대해 보고 싶다면 [[http://www.georgehart.com]] 참고. 낱낱의 다면체들에 대한 정보를 알고 싶으면 --영어-- 위키백과를 참고. 간단하게 개요를 알고 싶으면 50쪽 짜리 플라톤과 아르키메데스 입체를 추천한다. 위에 언급된 폴리토프까지 합해 제대로 알고 싶으면 H. S. M. Coxeter의 Regular Polytope 를 추천한다. --영어다-- <br /> <br /> == 공통 성질 ==<br /> * 말 그대로, 곡면이 없다.<br /> * 당연하다면 당연한 거지만 한 변엔 꼭짓점이 두 개고, 한 꼭짓점엔 변 두개가 있다. 볼록다면체 한정.<br /> * 오일러 지표 : 꼭지점- 모서리의 수 + 면의수 = 2라는 등식이 항상 성립한다.[* 초등학교에서 잠깐 배우고 바로 까먹다가 나중에 나오면 뒤통수치는, [[위상수학]]에서도 중요한 개념이다.] 단 [[구]]와 같은 연결상태 한정. 다른 오목다면체로 가면 2가 아니라 안드로메다로 가는 경우도 많다. <br /> * 가향성(Orientability)<br /> * 꼭짓점 도형(Vertex figure) : 한 다면체의 한 꼭짓점과 연결되는 다른 모든 꼭짓점들을 연결해 만든 평면도형. 이 도형이 정다각형일 경우, 이 다면체는 [[정다면체]]다.<br /> http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Dual_Cube-Octahedron.svg/100px-Dual_Cube-Octahedron.svg.png<br /> * 쌍대성(Duality) : 모든 다면체는 원래 다면체와 같은 개수의 모서리를 갖고, 원래 다면체의 꼭짓점 자리에 면이 있으며 같은 오일러 쌍대다면체가 존재한다. 위 사진에서 정육면체의 쌍대는 정팔면체고, 정팔면체의 쌍대는 정육면체다.<br /> <br /> == 용어 ==<br /> * 점추이(Isogonal, Vertex-transitive) : 쉽게 말하자면 한 점에 모인 면들의 개수와 종류가 일정하다는 것. 예를 들어 한 꼭짓점에 정사각형, 정삼각형, 정오각형 각각 한개씩 모이면 다른 꼭짓점에도 똑같은 배치로 한 개씩 모여있다면 점추이.<br /> * 변추이(Isotoxal, Edge-transitive) : 똑같이, 한 변에 모인 면의 크기, 종류와 배치가 일정한 것. 한 변에 삼각형, 오각형이 모여있으면 다른 변에도 같은 배치로 모여있다면 변추이. 여기서 toxal이란 말은 그리스어로 원호라는 뜻.<br /> * 면추이(Isohedral, Face-transitive) : 한 면에서 모이는 면의 순서와 종류, 배치가 같은 것을 면추이라고 한다.<br /> <br /> === [[슐레플리 부호]] ===<br /> * 정다면체는 {p, q}로 표시한다. p는 한 면에 있는 변의 개수, q는 한 꼭짓점에 있는 면의 개수를 의미한다. 예로 정사면체는 {3, 3}, 정육면체는 {4,3}이다. <br /> * {p, q}의 쌍대는 묘하게도 {q, p}가 된다.<br /> * 준정다면체는 http://upload.wikimedia.org/math/8/a/9/8a937511ddf5e03ed13bb8859817f10b.png 로 표시하는데, p와 q 각각 두 쌍대 {p, q}와 {q, p}의 알파벳을 의미한다. 즉 준정다면체는 두 쌍대다면체 한쌍이 합쳐진 꼴.<br /> * 더 자세히 들어가면 q는 다면체의 꼭짓점 도형의 변의 개수. 오목한 다면체에서는 이렇게 정의한다.<br /> * 각기둥은 {n} × { }, 엇각기둥은 { } ⨂ {n}로 표시하는데, 여기서 { } 는 ''이각형'' 또는 선분을 의미한다.<br /> <br /> == 다면체의 종류 ==<br /> * 볼록 다면체 : 볼록. 모든 면끼리 교차하지 않는다. 오일러 지표가 2다.<br /> * 오목 다면체 : 오목. 면들이 교차하기도. 오일러 지표가 제멋대로다. 한 꼭짓점에 들어가는 면들의 내각의 합이 360도 이상.<br /> * Regular Polyhedron : 영어로 정다면체를 의미한다. 하지만 한국에서 사용하는 의미의 정다면체랑 약간 다른데, 정다면체라는 건 모든 면이 정다각형이며 합동이고, 한 꼭짓점에 들어오는 면의 개수가 같은 것을 의미하는데 별 정다면체의 경우 역시 한 면이 다른 면과 교차한다고 보는 것. 그리고 [[다각형]] 항목에 보면 정다각형에 또 [[펜타그램]]같은 도형이 포함되어있다. 그 결과로 이 두가지 볼록하고 오목한 두 다면체 분류가 하나로 나온 것이다. 점추이, 면추이, 변추이다. 재밌는 건 이 다면체의 쌍대는 이중의 다른 다면체라는 것. <br /> * [[정다면체]](Platonic solids) : 정다면체. 모든 면이 합동이며, 한 꼭짓점에 들어가는 면의 개수가 같다. 그리고 결정적으로 볼록하다. 서양에서는 플라톤 다면체란 말로 별 정다면체와 구분하고 있다. 모든 정다면체의 개수는 5개이다. [[유클리드]]는 각각의 다면체가 하나의 원소를 나타낸다고 생각했다. 다시말해 [[4원소설]].[* 정사면체는 [[불]], 정육면체는 [[흙]], 정팔면체는 [[공기]], 정이십면체는 [[물]], 그리고 정십이면체는 [[우주]]라고 생각했다.]<br /> * 정사면체({3, 3})<br /> * 정육면체({4, 3})<br /> * 정팔면체({3, 4})<br /> * 정십이면체({5, 3})<br /> * 정이십면체({3, 5})<br /> * [[별 정다면체]](Kepler-Poinsot Polyhedron) : 정다면체는 정다면체인데, 오목하게 들어가는 정다면체이다. 즉 오일러 지표가 2가 아니다. 영어는 케플러-푸앵소 다면체로 플라톤 다면체와 구별하고 있다. 총 4가지가 있다. 2개는 [[케플러]]가, 2개는 [[푸앵소]]가 발견.<br /> * 작은 별모양 십이면체<br /> * 큰 십이면체<br /> * 큰 별모양 십이면체<br /> * 큰 이십면체<br /> * '''준'''정다면체(Quasiregular Polyhedron) : 변추이인 다면체. 이 정의로 자연스럽게 모든 면이 정다각형이다. 준정다면체는 위에서 알 수 있듯이 쌍대인 정다면체 1쌍이 합쳐진 꼴이다. <br /> * '''반'''정다면체(Semiregular Polyhedron) : 점추이지만 변추이와 면추이는 아니고 모든 면이 정다각형인 것들. 이것도 정의가 두가지인데, 어떤 사람들은 변추이와 면추이는 아니라는 사람이 있고, 어떤 사람은 '아닌' 게 아니라는 사람도 있다. --안그래도 복잡한데--<br /> * [[아르키메데스 다면체]](Archimedean solid) : 기둥들을 뺀 모든 볼록 반정다면체들. 이중 2개는 준정다면체도 겸한다. 여기서 알 수 있듯이 [[아르키메데스]]가 연구를 시작했고 르네상스때 재발굴되어서 [[케플러]]가 연구를 끝냈다.<br /> * 각기둥(Prism)과 엇각기둥(Antiprism) : 위아래가 정다각형이고 옆면이 모두 직사각형인게 각기둥, 위아래가 정다각형이며 뒤틀리게 꼬인 각기둥이 엇각기둥. <br /> * 고른 다면체(Uniform polyhedron) : 정다각형을 면으로 가지며 점추이인 다면체.<br /> * 귀족 다면체(Noble polyhedron) : 점추이이고 면추이이지만 변추이는 아닌 특이한 다면체.<br /> <br /> == [[준정다면체]]? [[반정다면체]]? ==<br /> 사실 원래 준정다면체는 반정다면체가 되어야 하고 반정다면체는 준정다면체가 되어야 하는데 한국에 이 지식을 처음 들여올 때 일본에서 번역해 들어오다가 어딘가가 뒤틀려 순서가 바뀌어버렸다. 그리하여 현재 준정다면체는 반정다면체가 되고 반정다면체는 준정다면체가 되어버렸다. 공통점은 이름이 그때그때 달라진다는 거. --[[게슈탈트 붕괴]]--<br /> <br /> == 확장 ==<br /> 다면체가 3차원이라는 것을 보면, 수학적으로 이를 확장할 수도 있다. 즉 다면체를 뭉쳐서 새로운 차원의 도형으로 만들어야 하는 것인데 이를 [[4차원 정다포체|초(超)다면체 또는 다포체]]라고 한다. 이를 제대로 표현하려면 차원의 개념이 [[4차원]] 이상으로 넘어가야 하는데, 여기서부터는 일반적으로 접할 수 있는 '도형'의 범주를 벗어난다. ~~[[멘탈붕괴]]~~<br /> <br /> == 관련 항목 ==<br /> * [[다각형]]<br /> * [[정다면체]]<br /> * [[준정다면체]]<br /> * [[축구공]] - 피버노바까지 한정, 다만 일반용은 아직도 쓴다.<br /> * [[위상수학]]<br /> * ~~[[건축무한육면각체]]~~<br /> * ~~[[빛나는 부등변다면체]]~~<br /> <br /> [[분류:기하학]]</div>

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