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* 상위 문서: [[수학 관련 정보]]

[목차]

== 개요 ==
>'''초등수학의 시작'''
>
가장 잘 알려진 [[이항연산]]이자 [[사칙연산]]의 하나. [[초등학교]] 1학년 과정에서(...) 1부터 10까지의 [[자연수]]를 배운 뒤 바로 배우는 내용. 두 자리 이상의 수의 덧셈에는 '''받아올림'''[* Carry. 두 수의 부호가 같은 경우] 및 '''받아내림'''[* Borrow. 두 수의 부호가 다른 경우]을 사용한다. 초등학교까지는 자연수의 덧셈까지만을 배우는 것. 고학년이 되면 유리수의 덧셈 (단, 음수는 제외) 까지도 배우지만 어차피 자연수의 덧셈을 바탕으로 하므로 별 상관은 없다. 매우 기초적인 연산이므로 수학 수준을 불문하고 물 쓰듯 쓰인다.
~~세상에서 가장 어려운 연산방법이라 카더라~~
== 정의 ==
그냥 합치면 되는 거 아니냐고 생각할 수도 있지만 초등학교 수준에서부터 크게 두 종류를 가르친다. 하나는 '''첨가''', 가만히 있는 대상에게 다른 대상을 갖다 붙여서 합치는 것을 말한다. 또 하나는 '''합병''', 동시에 있는 두 대상을 함께 세는 것을 말한다. 비슷해 보이지만 다른데, 예를 들면 강아지 3마리가 있는데 2마리가 더 찾아오면 '''몇 마리가 되는'''지는 첨가, 각각 동시에 존재하는 강아지 3마리와 2마리가 '''모두 몇 마리'''인지를 구하는 건 합병이다. 학생들 간 덧셈을 계산할 때 무의식적으로 선호하는 방법이 다르다고 한다.

대학에서 대수학을 추상적으로 배우기 시작하면서부터는 보통

1. 군 구조에서
2. 가환일 것.

이 두 가지 조건을 만족하는 연산을 덧셈이라고 하는 경우가 많다. 실제로는 우리가 알고 있는 덧셈에서부터 파생되는 경우를 배우는 게 대부분이다.

== 예제 ==
덧셈구조의 중요한 예제는 크게 두가지가 있다.

* 정수에서의 덧셈
* 정수에서 숫자 n으로 나눈 후의 나머지끼리의 덧셈
.
이 중 후자는 주로 시계에서의 덧셈 이야기로 대표된다. 예를 들어 11(시)+2(시)=1(시) 와 같은 것. 혹은

(홀수)+(홀수)=(짝수), (홀수)+(짝수)=(홀수), (짝수)+(홀수)=(홀수), (짝수)+(짝수)=(짝수)

가 대표적. 두 숫자를 더할 때 2로 나눈 나머지끼리의 관계를 살펴보면 된다.

[[행렬|이런 구조를 쌍을 지어 모아둔 구조]]도 덧셈이 된다. 이는 [[선형대수학]]을 공부하기 위한 [[필수요소]]다.

(1,2)+(2,3)=(3,5) 와 같은 경우.

== 성질 ==
덧셈과 관련해서 대학에서 배우는 가장 중요한 성질은 "덧셈구조는 잘 정렬된다". 덧셈 구조를 가지는 집합의 원소는 숫자 몇쌍으로 나타낼 수 있다는 것.

엄밀히 정의해보자면, 유한개의 원소로 만들 수 있는 덧셈 구조를 생각하자. 예를 들어, 정수 Z는 1 하나로 만들 수 있다 : 1이 있으니까 -1을 만든 후, 0=1+(-1), 2=1+1, 3=1+1+1, -2=(-1)+(-1),.....

유한개의 원소로 만들어지는 덧셈구조는 숫자쌍으로 표현할 수 있는데, Z 가 몇개, Z/n 꼴 몇개의 쌍이다. 이 때 숫자쌍을 고르는 방식을 잘 선택하면, Z/n 들이 (또는 n 들이) 좋은 성질을 가지게 된다 ; 각각 Z/n1, Z/n2, Z/n3,.... 로 적었을 때, n1 은 n2 의 약수, n2 는 n3 의 약수, n3 은 n4 의 약수, ....와 같이 되도록 고를 수 있다.

좀 더 정식으로 보고 싶은 사람이 있다면 ''Fundamental theorem for finitely generated abelian groups'' 라는 이름으로 찾아보면 된다.

이외에도 다음 성질이 있다.
* [[교환법칙]]이 성립한다. 즉 <math> a + b = b + a </math> .
* [[결합법칙]]이 성립한다. 즉 <math> (a + b) + c = a + (b + c) </math> .
* 단, [[분배법칙]]은 성립하지 못한다. 즉 <math> a + (b + c) \neq (a + b) + (a + c) </math> .
* 항등원은 [[0]]이다. 즉 0을 아무리 더하거나 빼도 아무 변화가 없다는 것.

== 덧셈의 역원 - 뺄셈 ==
[include(틀:넘겨주기(문단)2, n1=빼기, n2=뺄셈)]
더하는 것이 있다면 반대로 빼는 것도 있는데 바로 뺄셈이다. −([[-]]이 아니다)라는 기호로 표현되며 덧셈의 반대 과정이라고 보면 된다.

다만 [[정수]]를 배우게 되면 덧셈과 뺄셈이 '''같은 녀석'''임을 눈치채게 된다. 음수를 더하는 것이, 절대값이 같은 해당 수를 빼는 것과 마찬가지가 되기 때문. 그래서 이후에 나오는 수식은 죄다 덧셈의 형태이며, 빼기 기호는 __해당 수의 부호가 무엇이냐__라는 표지로만 쓰인다.

== 여담 ==
[[디시 웨이브]]에서는 이 기호가 안먹히는데, %2B를 누르면 먹힌다.

전 세계적으로 쓰이는 기호이지만 오로지 [[이스라엘]]에서만 십자가를 연상하게 한다고 수학 교과서나 일상에서 ㅗ자를 쓰고 있다. --[[fuck|법규!]]-- 카더라도 아닌 현지 교과서를 확인하여 쓴 증언(회복같은 [[개신교]] 찬양 [[영화]]를 만든 김종철 감독이 이스라엘에 직접 가서 쓴 책 <이스라엘에는 예수가 없다>에 그 내용이 존재한다) 참고.

[[분류:산술]]

덧셈 - 편집 역사

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