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* 관련 항목 : [[수학 관련 정보]]

'''Rolle's Theorem'''
~~이 [[리그 오브 레전드|롤]]이 아니다~~

[목차]
== 개요 ==
미분 가능한 함수에 대한 정리로 12세기 인도의 바스카라에 의해 처음 발견되어 17세기 미셸 롤(Rolle)에 의해 처음으로 증명되었다. 미분 가능한 함수에서 같은 함수 값을 가지는 두 점 <math>a</math>, <math>b</math>가 있을 때 [[구간]] <math>\left(a,b\right)</math>에서 접선의 기울기(= 미분계수)가 <math>0</math>이 되는 점이 적어도 하나 있다는 내용을 담는다. 즉 더욱 엄밀하게 설명하면 다음과 같다.

> 함수 <math>f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R</math>가
> 1) 닫힌구간 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이고
> 2) 열린구간 <math>\left(a,b\right)</math>에서 미분가능하며
> 3) <math>f\left(a\right)=f\left(b\right)</math>이면,
> <math>f'\left(c\right)=0</math>을 만족하는 <math>c\in\left(a,b\right)</math>가 존재한다.

이를 기하학적으로 보면 이렇다. 함수 <math>f\left(x\right)</math>가 닫힌구간 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이고 열린구간<math>\left(a,b\right)</math>에서 미분가능할 때, 곡선 <math>y=f\left(x\right) \left(a\leq x\leq b \right) </math>에서 접선의 기울기가 <math>0</math>이 되는 점 <math>\left(c,f\left(c\right)\right)</math>가 적어도 1개 존재한다.

== 증명 ==
{{|
1. 함수 <math>f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R</math>가 상수함수일 경우, 임의의 <math>x\in \left(a, b\right)</math>에 대해 <math>f'\left(x\right)=0</math>이다.[br]따라서 <math>f'\left(c\right)=0</math>을 만족하는 <math>c\in\left(a,b\right)</math>가 존재한다.
1. 함수 <math>f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R</math>가 상수함수가 아닐 경우, <math>f\left(a\right)=f\left(b\right)\ne f\left(x\right)</math>인 <math>x\in \left(a, b\right)</math>가 존재한다. 그런데 <math>f</math>는 닫힌구간 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이므로 최대·최소의 정리에 의해 이 구간내에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 이때 <math>f\left(a\right)=f\left(b\right)< f\left(x\right)</math>인 <math>x\in \left(a, b\right)</math>가 존재한다고 하자.[* <math>f\left(a\right)=f\left(b\right)> f\left(x\right)</math>인 <math>x\in \left(a, b\right)</math>가 존재하는 경우는 최솟값을 이용해 증명할 수 있다.] 그러면 <math>f</math>는 열린구간 <math>\left(a, b\right)</math>에서 최댓값을 가져야 한다. <math>x=c</math>에서 최댓값 <math>f\left(c\right)</math>를 가진다고 하면, 임의의 <math>x\in \left[a, b\right]</math>에 대해 <math>\displaystyle f\left(x\right)-f\left(c\right)\leq 0</math>이다. 그러면 다음이 성립한다. [br]<math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow c+}\frac{f\left(x\right)-f\left(c\right)}{x-c}\leq0 \, \,\,\,\, \displaystyle \lim_{x\rightarrow c-}\frac{f\left(x\right)-f\left(c\right)}{x-c}\geq0</math>[br]그런데 <math>x=c</math>에서 <math>f</math>는 미분가능하므로 두 값이 같아야 한다. 따라서 <math>f'\left(c\right)=0</math>
|}}

== 활용 ==
롤의 정리를 일반화하면 [[평균값의 정리]][* 미분가능할 때 평균변화율=미분계수 일때가 적어도 하나이상]로 나타낼 수 있다. 정확히 말하면 평균값의 정리를 미분계수가 0인 경우에 한정한 특별한 경우가 롤의 정리라고 할 수 있다.

롤의 정리를 이용하여 [[로피탈의 정리]]를 증명할 수 있다.

[[분류:해석학]]

롤의 정리 - 편집 역사

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