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[include(틀:카탈랑 다면체)]
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https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/86/Rhombictriacontahedron.gif
[[카탈랑 다면체]] 중 하나인 마름모삼십면체의 모습.

== 개요 ==

마름모三十面體, Rhombic triacontahedron[* 복수는 Rhombic triacontahedra]

[[아르키메데스 다면체]] 중 하나인 [[십이이십면체]]의 쌍대 다면체. 면들이 모두 마름모형이기 때문에 이런 이름이 붙었다. 마름모의 예각의 경우 한 꼭지점에 5개, 둔각의 경우 한 꼭지점에 3개씩, 예각은 예각끼리, 둔각은 둔각끼리 모인다. 면의 형태 V3.5.3.5[* 한 꼭지점에 모이는 면의 구성이 [[십이이십면체|3.5.3.5]]인 다면체의 꼭지점을 다면체 중심과 꼭지점을 이은 직선에 수직한 면으로 정확히 잘라내었을 때 생기는 단면의 쌍대 다각형과 같다는 뜻이다.]이다.

면추이 도형이므로, 이론상으로 던졌을 때 각 면이 위에 올 확률이 모두 같기 때문에 '''공평한''' 삼십면 [[주사위]]로도 사용할 수 있으며, 삼십면체 중 가장 많이 볼 수 있는 주사위이다.

== 마름모삼십면체에 대한 정보 ==
||단위/특성||개수||비고||
||꼭지점(vertex, 0차원)||32|| ||
||모서리(edge), 1차원)||60|| ||
||면(face, 2차원)||30||[[마름모|V3.5.3.5 마름모]]||
||쌍대|| ||[[십이이십면체]]||

한 변의 길이가 <math>a</math>인 마름모삼십면체가 있을 때

마름모(면)의 긴 대각선의 길이 = <math>\displaystyle\sqrt{\frac{2}{5}\left(5+\sqrt{5}\right)}a</math>[* 짧은 대각선의 정확히 [[황금비|(1+√5)/2배, 즉 짧은 대각선과 황금비]]를 이룬다. 따라서 마름모삼십면체의 전개도는 [[작도]]할 수 있다.]
마름모(면)의 짧은 대각선의 길이 = <math>\displaystyle\sqrt{\frac{2}{5}\left(5-\sqrt{5}\right)}a</math>
한 면의 넓이 = <math>\displaystyle\frac{2}{\sqrt5}a^2</math>

내접구의 반지름 = <math>\displaystyle\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt5}}a</math>
겉넓이(surface area) = <math>12\sqrt5a^2</math>
부피(volume) = <math>\displaystyle4\sqrt{5+2\sqrt5}a^3</math>
=== 다른 도형들과의 관계 ===
* 마름모삽십면체는 십이이십면체와 쌍대(Dual)[* 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.] 도형이다.
* 마름모의 둔각 3개가 모인 꼭지점 20개를 이으면 [[정십이면체]]가 된다.
* 마름모의 예각 5개가 모인 꼭지점 12개를 이으면 [[정이십면체]]가 된다.
* 위 방법으로 만든 정십이면체와 정이십면체를 겹치면 서로의 모서리 중앙 부분이 완전히 겹치는 복합체(compound)가 된다.
== 여담 ==
마름모삼십면체는 단독으로 3차원 유클리드 공간을 채울 수는 없으나, 3차원 쌍곡 공간을 채울 수는 있다.

마름모삼십면체 - 편집 역사

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