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== 요약 ==
[[파일:메넬라우스의 정리.png]]
[* 사진출처 : 위키피디아]

메넬라우스의 정리는 메넬라우스가 증명한 정리이다.
주어진 <math>\triangle ABC</math>에서 꼭짓점이 아닌 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 각각 <math>\overline{BC}</math>, <math>\overline{CA}</math>, <math>\overline{AB}</math> 위에 있다고 하자. 이때, <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 공선점[* 한 직선 위에 놓인 점]이면
<math> \frac{\overline{CD}}{\overline{DB}}\times\frac{\overline{BF}}{\overline{FA}}\times\frac{\overline{AE}}{\overline{EC}}=1 </math>
가 성립한다.
단, 반드시 직선이 그림처럼 삼각형을 횡단하지 않아도 상관 없다.

원래는 <math> \frac{CD}{DB}\times\frac{BF}{FA}\times\frac{AE}{EC}=-1 </math>로 표현하는 것이 정확하다.
여기서 선분 기호를 넣지 않으면 선분의 기호에 방향성까지 고려하는 것이 되므로 등식을 이해하는데 도움이 된다.
또한, 메넬라우스의 정리 또는 역을 이용할 때 어떤 선분들을 가지고 등식을 만족하는지 고르기 어려운 경우가 있으므로
위의 등식이 더 바람직하다고 하겠다.
=== 증명 ===
[[파일:attachment/untitled_6.png]]
점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>에서 반직선 PR에 내린 수선의 발을 각각 <math>X</math>,<math>Y</math>, <math>Z</math>라고 할때
삼각형 <math>\triangle PZC</math>와 <math>\triangle PYB</math>가 닮음이므로 <math>\frac{\overline{BP}}{\overline{CP}}=\frac{\overline{BY}}{\overline{CZ}}</math>이다.
삼각형 <math>\triangle QCZ</math>와 <math>\triangle QAX</math>가 닮음이므로<math>\frac{\overline{CQ}}{\overline{AQ}}=\frac{\overline{CZ}}{\overline{AX}}</math>이다.
삼각형 <math>\triangle RXA</math>와 <math>\triangle RYB</math>가 닮음이므로 <math>\frac{\overline{AR}}{\overline{BR}}=\frac{\overline{AX}}{\overline{BY}}</math>이다.

변변 곱하면 증명 끝.

== 역정리 ==
이 정리의 역도 성립한다.
즉, <math> \frac{\overline{AR}}{\overline{RB}}\times\frac{\overline{BP}}{\overline{PC}}\times\frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}}=1 </math>가 성립하면 <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math>는 공선점이다.
증명은 동일법으로 하면 된다.
[[파일:puOa5tL.png]]

<math>\overline{QR}</math>와 <math>\overline{BC}</math> 의 교점을 <math>P'</math>이라 한 후, <math>P</math>와 <math>P'</math>가 같은 점임을 보이면 증명이 완료된다. 일단 <math>P', Q, R</math>이 공선점이므로, <math> \frac{\overline{AR}}{\overline{RB}}\times\frac{\overline{BP'}}{\overline{P'C}}\times\frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}}=1 </math>가 성립한다. 한편, 원래 조건에서 <math> \frac{\overline{AR}}{\overline{RB}}\times\frac{\overline{BP}}{\overline{PC}}\times\frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}}=1 </math>도 성립하므로, <math>\frac{\overline{BP'}}{\overline{P'C}} = \frac{\overline{BP}}{\overline{PC}}</math>여야 한다. 이제, <math>\overline{BC} = a</math>, <math>\overline{CP'} = b</math>, <math>\overline{P'P} = x</math>로 놓고 간단한 계산을 하면 <math>x=0</math>임을 알 수 있다.
따라서 <math>P</math>와 <math>P'</math>는 같은 점이므로, <math>P, Q, R</math>는 공선점이다.

== 일반화 ==
[[파일:JUze4Yk.png]]
알아두면 --경시에서만-- 꽤나 유용한 사실로, 원래 메넬라우스 정리는 <math> \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{PC}}{\overline{BP}}\times\frac{\overline{QA}}{\overline{CQ}} </math>와 같이 세 선분 위의 길이의 비를 곱해서 1이 되었는데, 사실은 몇 번을 돌아다니면서 길이비를 곱해도 다음 조건들만 만족한다면 길이비의 곱이 1이 된다.
1. 각 길이비 항은 반드시 한 직선 내의 길이비여야한다. 즉 <math> \frac{\overline{QR}}{\overline{AQ}}</math> 같은 건 <math>A, Q, R</math>가 공선점이 아니므로 안 되고 <math> \frac{\overline{QC}}{\overline{AQ}}</math> 같은 건 된다는 뜻.
2. 한 항의 '끝점'과 다음 항의 '시작점'이 같아야 한다.[* 여기서 '시작점'과 '끝점'을 엄밀히 정의할 수는 있지만 그냥 직관적으로 이해하고 넘어가기로 한다. <math> \frac{\overline{QC}}{\overline{AQ}}</math>에서는 <math>A</math>가 '시작점'이고 <math>C</math>가 '끝점'이다.] 즉 메넬라우스의 정리를 이용할 때 한붓그리기처럼 쭉 이어가면서 길이비를 따지듯이 할 수 있어야 한다는 것. 예를 들어 <math> \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{PB}}{\overline{CP}} </math> 같은 건 첫 항의 끝점이 <math>B</math>인데 다음 항의 시작점이 <math>C</math>이므로 안 된다.
3. 첫 항의 '시작점'과 마지막 항의 '끝점'이 같아야 한다. 즉 처음 시작한 곳으로 다시 돌아와야 한다. 예를 들어 <math> \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{PC}}{\overline{BP}}\times\frac{\overline{AQ}}{\overline{CA}} </math> 같은 것은 <math>A</math>로 시작해서 <math>Q</math>로 끝났으므로 길이비의 곱이 1이 안 된다.

위의 세 조건을 요약하자면, 그냥 평소 메넬라우스의 정리를 쓸 때처럼 하되 마지막에 처음 점으로 돌아오기만 하면 길이비의 곱이 1이 된다는 것이다.
즉, <math> \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{CP}}{\overline{BC}}\times\frac{\overline{RQ}}{\overline{PR}}\times\frac{\overline{AC}}{\overline{QA}}\times\frac{\overline{PB}}{\overline{CP}}\times\frac{\overline{RA}}{\overline{BR}} </math> 처럼 해도 1이 된다. 심지어 시작점이 <math>R, Q, C</math>같은 점이어도 상관 없다!

실제로 메넬라우스의 정리의 <math> \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{PC}}{\overline{BP}}\times\frac{\overline{QA}}{\overline{CQ}} </math> 는 위 세 조건을 모두 만족한다는 것을 알 수 있다.

--증명은 [[페르마의 마지막 정리|여백이 부족하므로 생략한다]]-- 각 점에 대해 적절한 함숫값을 주고, 길이비와 그 함숫값의 곱이 불변량임을 보이면 된다. 다만 이 과정에서 상당한 노가다를 필요로 한다...

== 관련 문서 ==
* [[체바의 정리]] --책만 보면 둘이서 짝으로 항상 나온다.-- --제르곤의 정리도 가끔 나온다--
~~중2 최상위수학에 체바의 정리랑 제르곤의 정리랑 이거랑 같이나온다는건 함정~~
*[[데자르그의 정리]]
*[[파스칼의 정리]]
[[분류:삼각형]]

메넬라우스의 정리 - 편집 역사

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