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== 개요 ==
메르센 수 M(n)은 2^^n^^ -1의 형태를 가지는 수를 말한다. 메르센 소수는 메르센 수 중 [[소수]]인 수를 가리킨다. M(n)이 메르센 소수이면 n도 소수이다. 하지만 역으로 n이 소수라고 해서 항상 M(n)도 소수가 되는 것은 아니다. 처음 네 개, 즉 n=2, 3, 5, 7일 때는 성립하지만 2^^11^^ -1=2047=23×89이고, 2^^23^^ -1=8388607=47×178481인 것이 함정.

메르센 소수는 짝수인 [[완전수]]와 일대일 대응한다[* 2^^p^^ -1 이 소수일 때 2^^p-1^^ ×(2^^p^^ -1)은 짝수 완전수가 되며, 역도 성립한다.]. 그 수가 유한인지 무한인지는 알려져 있지 않으며, [[2015년]]까지도 50개가 채 되지 않는 메르센 소수가 알려져 있었다.

== 역사 ==
프랑스의 수도사이자 수학자인 마랭 메르센(1588~1648)은 M(n)이 소수가 되도록 하는 258 미만의 수는 n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, '''67''', 127, '''257'''이 전부라고 생각하였다. 하지만 그가 이 수들이 소수인지를 전부 확인해 본 것은 아니었고, 틀린 수와 빠진 수가 존재한다. [[1947년]]이 되어서야 n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, '''61, 89, 107''', 127 이 전부임이 밝혀졌다.

M(31) = 2147483647[* 프로그래밍을 할 줄 알면 익숙한 그 수. 변수 타입 중 자주 쓰는 정수형의 표현 가능 범위가 –2,147,483,648에서 2,147,483,647이다. 크기가 32비트이고 부호 표시를 제외하면 31비트이므로 2의 31승까지 표현이 가능하다. 오버플로 문제와 관련이 있기 때문에 익숙한 것.] 이 소수라는 것은 [[1772년]] [[레온하르트 오일러]]에 의해 증명되었다. 이 수는 [[1876년]] 루카스에 의해 M(127)이 소수임이 확인될 때까지 알려진 소수중 가장 큰 수가 되었다. [[1883년]] 페르보차인이 M(61)이 소수임을 증명하였고 이것은 메르센이 빠뜨린 수였다. 이후 파우어스에 의해 M(89), M(107)이 소수라는 사실도 확인되었다.

[[1903년]], 미국 수학자 학회에서 넬슨 콜이라는 교수가 "[[큰 수]]의 [[소인수분해]]"라는 강연을 했다. 그는 아무 말 없이 2^^67^^-1을 칠판에 쓴 후 계산해서 147,573,952,589,676,412,927을 얻었다. 그리고 다른 쪽 칠판에 193,707,721 x 761,838,257,287을 계산해서 똑같은 값인 147,573,952,589,676,412,927을 얻었다. 그는 강의도중 한 마디도 하지 않았지만 계산이 끝나자 온 강의실이 박수갈채로 매워졌다. 당시에 컴퓨터는 커녕 그럴듯한 [[계산기]]도 없었다는 사실을 생각하면.....

그래도 메르센의 방법을 응용하면 큰 소수를 찾는 데 유용하게 쓸 수 있다. 예를 들어 현대적인 암호 체계는 [[크고 아름다운]] 소수를 사용하는데 이 소수를 찾는데 사용하는 페르마의 소정리는 메르센의 식에서 -1을 이항한거라 보면 된다.

[[2008년]] [[8월 23일]] UCLA 수학과의 Edson Smith가 M(43112609)을 발견하였다. 크기 순서로는 47번째이나, 41번째인 M(24036583) 이후로 발견된 수들 사이에 메르센 소수가 존재하는지 아닌지는 확인되지 않았다.

[[2013년]] [[1월 25일]] Curtis Cooper가 M(57885161)을 발견하였고, 48번째(추정)로 기록될 예정이다. 17425170 자리의 수이며, 현재가지 알려진 가장 큰 소수이기도 하다. [[http://news.naver.com/main/read.nhn?mode=LSD&mid=sec&sid1=105&oid=001&aid=0006080331|현재 추가된 모양이다.]]

[[2016년]] [[1월 7일]] Curtis Cooper가 이끄는 연구팀이 M(74207281)를 발견하여 [[http://www.mersenne.org/primes/?press=M74207281|가장 큰 소수 기록을 갈아치웠다.]] 22,338,618 자리 수이며, 3003으로 시작해서 6351로 끝난다.

참고로 [[http://mersenne.org/default.php|GIMPS]] 에서는 메르센 소수 발견자에게 포상금을 지급하는데, 최초로 1000만 자리를 넘는 소수를 발견한 Edson Smith가 속한 UCLA 수학과에 50000$가 지급되었다. 그리고, 1억 자리를 넘는 소수에 대해서도 새롭게 50000$의 포상금이 걸려 있다. 또한, 새로운 메르센 소수를 발견할 때마다도 3000$의 포상금을 지급한다.

== 메르센 소수의 예 ==
=== 작은 메르센 소수 ===
* M(2) = 3
* M(3) = 7
* M(5) = 31
* M(7) = 127
* M(13) = 8191
* M(17) = 131071
* M(19) = 524287
* M(31) = 2147483647
* M(61) = 2305843009213693951

=== 큰 메르센 소수 ===
순서에 (추정)이 붙은 이유는 이보다 작은 수들에 대해서 완전히 검증이 끝난게 아니기 때문이다. 실제로 M(43112609)가 발견되었을때는 46번째로 추정되었지만, 다음해 이보다 작은 M(42643801)가 발견되면서 순서가 재조정되었다.

* M(37156667) - 약 1118만 자리. 45번째 (추정)
* M(42643801) - 약 1283만 자리. 46번째 (추정)
* M(43112609) - 약 1297만 자리. 47번째 (추정)
* M(57885161) - 약 1754만 자리. 48번째 (추정)
* M(74207281) - 약 2200만 자리. 49번째 (추정) 이다. 2016년 기준 발견된 가장 큰 소수이기도 하다.

[각주]
[[분류:정수론]]

메르센 소수 - 편집 역사

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