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[목차]

== 개요 ==
A 의 모든 부분집합을 원소로 하는 [[집합]]을 A 의 멱집합(power set)이라 하고 <math>\mathcal{P}(A)</math> 또는 <math>2^A</math> 로 나타낸다.

<math>\mathcal{P}(A) = 2^A = \left\{X| X \subset A\right\} </math>

=== 예시 ===
예를 들어 <math> B = \{1,2\} </math> 라고 하자. <math> B </math>의 부분집합은 <math> \emptyset , \{ 1 \} , \{ 2 \} , \{1,2 \} </math>이다.
그러므로 <math>\mathcal{P}(B) = \left\{ \emptyset , \{ 1 \} , \{ 2 \} , \{1,2 \} \right\} </math> 가 된다.

<math> C = \{a,b,c\} </math> 일때, C 의 멱집합은 아래와 같다.
<math>\mathcal{P}(C) = \left\{ \emptyset , \{ a \} , \{ b \}, \{ c\} , \{a,b \}, \{a,c \}, \{b,c \}, \{a,b,c \} \right\} </math>
== 멱집합의 크기 ==
=== 유한집합에서의 멱집합 ===
임의의 유한집합에 대해서 그 크기가 <math>\left|A\right|=n</math> 이라고 할때, 부분집합의 개수는 <math>2^n</math> 개가 된다. 임의의 정수 <math> n ( n \ge 0) </math>에 대해서 <math>2^n > n</math>이 항상 성립하므로, 임의의 유한집합에 대해서 멱집합의 크기는 원래의 집합의 크기보다 항상 더 커진다.

즉, 유한집합에서는 <math> \left|\mathcal{P}(A)\right| >\left|A\right| </math> 가 항상 성립한다.

=== 무한집합의 멱집합 ===
무한집합도 부분집합을 생각할 수있으므로, 당연히 무한집합에 대해서도 멱집합을 생각할 수 있다.

'''그런데, 멱집합의 크기는 원래의 집합의 크기보다 항상 더 크다는 성질이 무한집합에서도 성립한다.''' 다시 말해 무한집합에서도 <math> \left|\mathcal{P}(A)\right|>\left|A\right| </math> 가 성립한다.

예를 들어 무한집합인 [[자연수]]의 집합 <math>\mathbb{N}</math>이 있을때, 자연수의 멱집합 <math>\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)</math>를 구하면, 이 멱집합의 크기는 자연수의 집합의 크기보다 더 크다. 즉 <math> \left|\mathcal{P}(\mathbb{N})\right| > \left|\mathbb{N}\right| </math> 이다.

'''이것이 의미하는 것은 무한집합에서도 서로 크기가 다른 집합이 존재한다는 것이다.'''

자연수의 집합은 정수의 집합, 짝수의 집합, 유리수의 집합과는 그 크기가 같지만, 자연수의 집합과 실수의 집합은 그 크기가 서로 다르다. 이는 [[게오르크 칸토어]]가 [[대각선 논법]]이란 교묘한 방법으로 발견하였다. 또한, 대각선 논법을 이용하여 멱집합은 원래 집합보다 항상 크다는 것 역시 밝혀 내었다.

서로 다른 무한집합의 크기를 구분하기 위해서 [[초한기수]]라는 수 체계가 도입되었다. 그런데, 초한기수 사이의 관계에서 특이한 가설이 하나 제시되었는데, 그것이 [[연속체 가설]]이다.
== 관련 문서 ==
* [[집합]]
* [[자연수]]
* [[실수]]
* [[초한기수]]
* [[대각선 논법]]
* [[연속체 가설]]

[[분류:집합론]]

멱집합 - 편집 역사

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