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{{{+1 Bernoulli differential equation}}}

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== 개요 ==
베르누이 미분방정식은 <math>y</math>가 <math>t</math>의 함수일 때 다음과 같이 표현되는 비선형 1계 [[미분방정식|상미분 방정식]]이다.
<math>y'(t) + p(t) y(t) = q(t) y(t)^n\qquad(n\neq 0, 1)</math>[* 여기서 <math>n=0</math> 또는 <math>n=1</math>이면 선형 1계 상미분 방정식으로 쉽게 풀린다.]
이 방정식은 1695년 이를 처음으로 연구한 야콥 베르누이의 이름을 붙였다. 베르누이 미분방정식은 비선형 상미분방정식임에도 일반해를 구하는 방법이 알려져 있는 특수한 경우이다. [[로지스틱 방정식]]은 베르누이 미분방정식의 한 예이다.

== 해법 ==
자명해가 아닌 해를 구하려면 양변을 <math>y^n</math>로 나누고 <math>\displaystyle u = \frac{1}{y^{n-1}}</math>로 치환하여 다음과 같은 선형 상미분방정식으로 변환한다.
<math>u'(t) + (1-n) p(t) u(t) = (1-n) q(t)</math>
이렇게 치환된 문제는 [[미분방정식#s-2.1|적분인자를 사용한 해법]]으로 쉽게 해를 구할 수 있다. 이 치환된 문제의 해를 <math>u^*(t)</math>라 하면 베르누이 미분방정식의 해는 <math>\displaystyle y(t) = \Big[u^*(t)\Big]^{\frac{1}{1-n}}</math>이다.

풀이를 쉽게 하기 위해 위의 식에서 <math>P(t) = (1-n) p(t)</math>라고 하고 <math>Q(t)=(1-n)q(t)</math>라고 하면 적분인자는 <math>\displaystyle e^{\int P(t)\,dt}</math>이고, 이로부터 <math>u^*(t)</math>를 다음과 같이 얻을 수 있다.
<math>\displaystyle u^*(t) = \frac{\int e^{\int P(t)\,dt} Q(t)\,dt + C}{e^{\int P(t)\,dt}} = \frac{(1-n)\int e^{(1-n)\int p(t)\,dt} q(t)\,dt + C}{e^{(1-n)\int p(t)\,dt}}</math>
따라서 초기조건에 따라 적분상수 <math>C</math>를 적당한 값으로 정해주면 <math>y(t)</math>는 다음과 같다.
<math>\displaystyle y(t) = \left[ \frac{(1-n)\int e^{(1-n)\int p(t)\,dt} q(t)\,dt + C}{e^{(1-n)\int p(t)\,dt}}\right]^{\frac{1}{1-n}}</math>
[[분류:방정식]]

베르누이 미분방정식 - 편집 역사

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