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2017-02-07T10:33:36Z

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== 개요 ==
두 변수가 있을 때, 한 변수가 2배, 3배 되면 다른 한 변수도 2배, 3배 되는 경우 그 두 변수는 (정)비례 관계에 있다고 한다. 반면 한 변수가 2배, 3배 될 때 다른 변수가 1/2배, 1/3배 된다면 두 변수는 반비례 관계에 있다고 한다.

식으로 나타내자면 <math>a</math>가 상수일 때 <math>y=ax</math>를 만족하는 경우 두 변수 <math>x, y</math>는 정비례 관계에 있고, <math>\displaystyle y=\frac{a}{x}</math>를 만족하는 경우 <math>x, y</math>는 반비례 관계에 있다.

== 정의 ==
두 변수 <math>x, y</math>가 '''정비례'''한다고 함은 다음을 만족하는 함수 <math>f</math>에 대하여 <math>y=f\left(x\right)</math>를 만족한다는 뜻이다.
임의의 <math>k, x</math>에 대하여 <math>f\left(kx\right)=kf\left(x\right)</math>
이 정의를 이용해 함수 <math>f</math>를 묘사하는 식을 구할 수 있다.
{{|<math>x\neq 0</math>일 때, <math>\displaystyle g\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{x}</math>라 정의하자. 그러면 0이 아닌 임의의 <math>k, x</math>에 대하여 <math>g\left(kx\right)=g\left(x\right)</math>가 성립한다. 이로부터 0이 아닌 임의의 <math>x</math>에 대해서 <math>g\left(x\right)</math>는 일정한 값을 가짐을 알 수 있다. 그 값을 상수 <math>a</math>라 하자. 그러면 0이 아닌 임의의 <math>x</math>에 대해서 <math>f\left(x\right)=ax</math>를 만족한다. 그런데 정의에 의해 <math>f\left(0\right)=0</math>이다. 따라서 임의의 <math>x</math>에 대해 <math>f\left(x\right)=ax</math>이다.|}}

두 변수 <math>x, y</math>가 '''반비례'''한다고 함은 다음을 만족하는 함수 <math>f</math>에 대하여 <math>y=f\left(x\right)</math>를 만족한다는 뜻이다.
0이 아닌 임의의 <math>k, x</math>에 대하여 <math>\displaystyle f\left(kx\right)=\frac{f\left(x\right)}{k}</math>
마찬가지로 이러한 함수 <math>f</math>를 묘사하는 식은 다음과 같이 구할 수 있다.
{{|<math>x\neq 0</math>일 때, <math>g\left(x\right)=xf\left(x\right)</math>라 정의하자. 그러면 0이 아닌 임의의 <math>k, x</math>에 대해서 <math>g\left(kx\right)=g\left(x\right)</math>가 성립한다. 이로부터 0이 아닌 임의의 <math>x</math>에 대해서 <math>g\left(x\right)</math>는 일정한 값을 가짐을 알 수 있다. 그 값을 상수 <math>a</math>로 놓자. 그러면 0이 아닌 임의의 <math>x</math>에 대해 <math>\displaystyle f\left(x\right)={a\over x}</math>이다.|}}

[[분류: 해석학]]

비례·반비례 - 편집 역사

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