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== 개요 ==
[[유클리드]]가 집대성한 [[기하학]]은 5개의 공리로 이루어져 있는데,[* 유클리드는 아무래도 이론적으로 세계를 가정했기 때문에 실제 현상과는 차이가 있었다. 대표적으로 삼각형의 내각의 합은 실제 측정에서 정확히 180도가 나오지 않는다. [[http://hkpark.netholdings.co.kr/web/manual/default/manual_view.asp?menu_id=107589&id=2737]]] 그 중 5번째것이 '평행선 공준'(또는 '평행선 공리')이라고 부르는 것이다.

>5. 선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 단 하나 존재한다.[* 원래의 표현은 다르지만, 현대적인 해석에서는 이 표현을 더 많이 사용하고, 원래의 공준과 동치임도 증명되어 있다.]
>유클리드의 평행선 공준

그런데, 이 '''평행선 공준이 성립하지 않는다고 가정'''하더라도 아무런 모순이 없다는 것이 증명되었다.[[출처필요]](공리계 내부에서 모순이 있음을 공리계 스스로 증명할 수 없다는 괴델의 불완전성정리가 있다) 이로 인해서 새로운 기하학 분야가 생겨 났다.

== 쌍곡 기하학 ==
영어로는 hyperbolic geometry 라고 부르며 '쌍곡 기하학' 또는 '쌍곡면 기하학'이라고 부른다.

>선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 둘 이상 존재한다.

평행선이 둘 이상 존재한다고 가정하는 기하학인데, 일반적으로 '''평행선이 무한히 많이 존재한다'''고 가정한다. 두 선의 사이를 지나는 직선을 얼마든지 그릴 수 있는데, 이 선들도 모두 평행한 직선이 되기에, 무한히 많은 평행선이 존재하게 된다.

헝가리의 수학자 '보여이 야노시'와 러시아의 '니콜라이 로바쳅스키'에 발견되었고 체계화 되었다. 이들의 이름을 따서 '야노시-로바쳅스키 기하학'이라고도 부르기도 한다.

== 타원 기하학 ==
>선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 하나도 존재하지 않는다.

[[리만 가설]]로 유명한 수학자 [[베른하르트 리만]]에 의해서 체계화되었고, 리만의 이름을 붙혀 '''리만 기하학'''이라고도 널리 부른다. 리만 기하학에서는 평행선이 존재하지 않는다는 의미이며, 다시 말해서 리만 기하학에서는 임의의 두 직선은 '''무조건 만난다'''.

다만, 현대의 수학 체계에서는 '리만 기하학', '타원 기하학', '구면 기하학'이 지칭하는 것은 엄밀하게 따져보면 동일한 것은 아니다. 그러나, 수학전공자가 아니라면 그냥 같은 것이라고 이해해도 무방하다.

=== 구면 기하학 ===
구면 기하학은 타원 기하학의 한가지 특별한 형태이다. 기하학의 모델링은 구체의 표면상에서 구현되기에 '구면 기하학'이라고 부른다.

* 점: 구의 표면상의 임의의 한점.[* 좀 더 엄밀히 말하면 그 한점과 구의 중심을 기준으로 대칭되는 위치에 있는 '''점의 쌍'''을 점으로 정의한다.]
* 직선: 구의 표면상의 임의의 '''대원'''
* 선분: 직선의 일부분

구면 기하학에서 삼각형의 내각의 합은 180도 보다 크다.

== 영향 ==
비유클리드 기하학은 유클리드 기하학이 갖고 있던 절대적인 공리에 대한 믿음을 깨는 데에 큰 역할을 하게 되었다. 공리는 결국 구성하기 나름이며, 공리 자체가 항상 완전무결한 명제가 아니라는 것을 보여주었던 것이다. 이러한 사고 방식은 이후 힐베르트 등에 의한 수학기초론에 큰 영향을 주었다.

비유클리드 기하학(리만 기하학)은 [[상대성 이론]], 특히 일반 상대성 이론의 전개에 큰 역할을 하였다. 아인슈타인은 일반 상대론에서 유도되는 시공간의 휘어짐을 수학적으로 설명하기 위해 리만 기하학을 활용하였다.

[[분류:기하학]]

비유클리드 기하학 - 편집 역사

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