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[include(틀:프로젝트 문서, 프로젝트=나무위키 물리학 프로젝트)]
[목차]

== 개요 ==
물리학에서(특히 양자역학에서), 연산자란 다음과 같은 [[고윳값 문제]](eigenvalue problems) <math>\hat{A}\left|\psi\right>=a\left|\psi\right></math>[* <math>\left|\right></math>는 브라-켓 표기법이다. 그냥 양자역학에서 벡터 연산을 단순화 하기 위해 만든 기호이다.]에서 <math>\hat{A}</math>에 해당하는 무언가이다. 이때 고유 함수(eigenfunction) <math>\psi</math>는 (주로)[[파동함수]]를 나타내며 <math>a</math>는 고윳값(eigenvalue)으로 그 연산자를 취했을 때 튀어나오는 것이다.

일반적으로 관측 가능한 물리량의 연산자는 [[수반 연산자|자가 수반]](self-adjiont) 혹은 Hermitian 연산자이므로 실수 고윳값을 가져야 한다.[* 물리적으로 따지면 당연한 이야기이다. 관측 가능한 물리량에 허수가 들어갈 수는 없으니까. 물론 이와는 별개로 Hermitian 연산자의 고윳값은 실수임은 수학적으로 증명 가능하다.]

== 성질 ==
=== [[교환자]] ===
Commutator. 연산자의 교환자라고 하는 것은 이렇게 정의된다.
* {{{+1 <math>\left[\hat{A},\hat{B}\right] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}</math>}}}
일반적인 두 연산자<math>hat{A}</math>와 <math>hat{B}</math>에 대해 위의 값은 0이 아닌데, 이는 연산자는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않기 때문이다. 특별히 저 교환자가 0이 될 때를 가리켜 '두 연산자가 교환(commute)한다'라고 한다.

교환자에 대한 보다 더 자세한 성질들은 문서 참조.

=== 평균값과 시간 미분 ===
우선 어떤 연산자의 평균값은 다음과 같이 정의된다.

* {{{+1 <math>\left<\hat{A}\right>=\left<\psi\right|\hat{A}\left|\psi\right>=\int\psi^{*}\left(x,t\right)\hat{A}\psi\left(x,t\right)dx</math>}}}

양변을 각각 시간에 대해 미분하면 다음과 같은 결과가 나오는데, (H는 후술하겠지만 해밀토니안 연산자이다.)

* {{{+1 <math>\frac{d}{dt}\left<\hat{A}\right>=\left<\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\right>+\frac{i}{\hbar}\left<\left[\hat{H},\hat{A}\right]\right></math>}}}

연산자가 시간에 의존하지 않는다면, 가운데 항은 무시할 수 있게된다. 그렇게 되면 다음과 같은 식이 나온다.

* {{{+1 <math>\frac{d}{dt}\left<\hat{A}\right>=\frac{i}{\hbar}\left<\left[\hat{H},\hat{A}\right]\right></math>}}}

즉, 만일 '''어떤 연산자가 해밀토니안과 교환한다면, 그 연산자에 대한 관측값은 항상 시간에 대해 일정하다'''고 말할 수 있다.
== 예시 ==
=== 위치 ===

* {{{+1 <math>\hat{x} = x </math>}}}

고전역학에서와 똑같이 그냥 <math> x </math>이다.
=== [[운동량]] ===
양자역학에서 운동량은 고전역학과 좀 다른 모양으로 나타내어진다.

* {{{+1 <math>\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} </math>}}}

3차원으로 확장시키면 다음과 같다.

* {{{+1 <math>\hat{p} = -i\hbar \nabla</math>}}}

=== [[해밀토니안]] ===
해밀토니안 연산자는 운동량 연산자와 퍼텐셜 에너지의 합으로 나타내어진다.

* {{{+1 <math>\hat{H} = \frac{\hat{p}^{2}}{2m}+V\left(x\right) = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V\left(x\right)</math>}}}

해밀토니안에 대한 고윳값 문제를 식으로 쓰면,

<math> \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(x) \right]\psi(x) = E \psi(x)</math>

[[슈뢰딩거 방정식|익숙한 식]]이 나온다. 이 해밀토니안의 고윳값 <math>E</math>는 에너지가 된다.

=== 사다리 연산자 ===
이 사다리 연산자부터 뭔가 모호해진다. 이 사다리 연산자는 어떤 관측 가능한 물리량을 주지 않으며(즉 Hermitian이 아니며), 단지 어떤 상태의 고유 에너지 등을 특정값만큼 올리고 내리게 해주는 --매우 편리한-- 연산자이다.

=== [[각운동량]] ===
3차원 계를 다루게 되면서부터 각운동량을 빼놓을 수가 없는데, 당연히 지금까지 봐온 1차원에서의 연산자보다 훨씬 복잡하고 다양한 성질들을 가지고 있다.
== 행렬역학 ==
[[하이젠베르크]]가 고안한 양자역학을 기술하는 방법. 위에서 연산자를 어떤 수식으로 나타냈다면, 이제는 연산자를 하나의 행렬로 나타낼 수 있으며, 파동함수는 벡터로 나타난다. 이 방법은 수학적으로 미분방정식을 풀 때 고유함수-고유치 문제를 고유벡터-고유치 문제로 바꾸어 푸는 것과 완전히 동일한 방법으로, 파동역학적 방법과 수학적으로 동등함이 증명되어있다.
##어떻게 나타내냐면,
## * {{{+1 <math>A_{mn}=\left<\psi_{m}\right|\hat{A}\left|\psi_{n}\right></math>=\int\psi_{m}^{*}}}}
=== 스핀 ===

[[분류:물리학]]

연산자(물리학) - 편집 역사

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