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* 상위 항목 : [[고전역학]], [[유체역학]], [[전자기학]]
* 관련 항목 : [[나비에-스톡스 방정식]], [[오일러 방정식]], [[포인팅 벡터]]

[목차]
== 개요 ==
어떤 물리량이 보존되는 상태로 이송되는 것을 기술하는 방정식이다. [[질량]], [[운동량]], [[에너지]] 등이 보존되는 양이기 때문에 수많은 물리적 현상들이 연속 방정식(連續方程式, continuity equation)에 의해 기술될 수 있다.

=== 연속 방정식의 일반형 ===

어떤 물리량 <math>\displaystyle q</math>에 대해 일반적으로 연속 방정식은 다음과 같이 표현된다.

||<tablealign=center><#FFFFFF> <math>\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \int_{\mathbf{V}} \rho_{q} \left ( \mathbf{r}, t \right ) d^{3} r = - \oint_{\partial \mathbf{V}} \mathbf{J}_{q} \left ( \mathbf{r}, t \right ) \cdot d \mathbf{a} + \int_{\mathbf{V}} s_{q} \left ( \mathbf{r}, t \right ) d^{3} r </math> ||

여기서 <math>\displaystyle \rho_{q}, \mathbf{J}_{q}, s_{q}</math>는 각각 단위 부피당 <math>\displaystyle q</math>, 단위 시간당 단위 면적을 통한 <math>\displaystyle q</math>의 흐름, (외부 공급 장치 등에 의한) 단위 부피당 <math>\displaystyle q</math>의 직접 공급을 뜻한다.

이로부터 위 식의 좌변은 '''단위 시간당 어떤 영역 <math>\displaystyle \mathbf{V}</math> 내의 <math>\displaystyle q</math>의 (시간에 따른) 변화율''', 우변의 첫째항과 둘째항은 각각 '''영역 <math>\displaystyle \mathbf{V}</math>의 경계면을 통해 단위 시간당 유입되는 <math>\displaystyle q</math>의 양''', '''(외부 공급 장치 등을 이용한) <math>\displaystyle q</math>의 직접적인 공급'''을 의미한다.

위 식에 [[발산 정리]]를 적용하여 정리하면 다음과 같이 연속 방정식의 미분형이 유도된다.

||<tablealign=center><#FFFFFF><math> \displaystyle \frac{\partial \rho_{q}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J}_{q} = s_{q} \left ( \mathbf{r}, t \right ) </math> ||
== [[유체역학]]에서의 연속 방정식 ==

=== [[질량]]에 대한 연속 방정식 ===
유체가 흐를 때 [[질량]]이 보존됨을 표현하는 방정식이다. 어떤 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 유체 질량은 폐곡면을 통해 출입하는 유량에 따라 변한다는 것을 표현한다.

||<tablealign=center><#FFFFFF><math> \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0</math>||

==== 유도 ====
밀도가 <math>\displaystyle \rho</math>인 유체가 어떤 폐곡면 <math>\displaystyle \mathbf{S}</math>를 출입하는 상황을 생각해보자. 이 상황은 다음과 같은 방정식으로 묘사된다.

||<tablealign=center><#FFFFFF> <math> \displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \int_{\mathbf{V}} \rho d^3 r = -\oint_{\mathbf{S}} \rho \mathbf{u} \cdot d \mathbf{a} </math> ||

여기서 <math>\mathbf{V}</math>는 폐곡면 <math>\mathbf{S}</math>로 둘러싸인 영역이다. 좌변은 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 있는 유체가 갖는 질량의 변화량, 우변은 단위 시간당 폐곡면 내로 유입되는 유체의 질량을 의미한다.

위 방정식의 우변에 [[발산 정리]]를 적용하여 정리하면 다음과 같이 [[질량]]에 대한 연속 방정식을 얻는다.

||<tablealign=center><#FFFFFF> <math> \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0</math> ||

=== [[운동량]]에 대한 연속 방정식 ===
[[오일러 방정식]] 항목 참조

== [[전자기학]]에서의 연속 방정식 ==

=== [[전하]]에 대한 연속 방정식 ===
[[전류]]가 흐를 때 [[전하]]가 보존됨을 표현한 방정식이다. 어떤 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 전하량은 폐곡면을 통해 출입하는 전류에 따라 변한다는 것을 표현한다. 여기서 <math> \displaystyle \rho </math>는 전하 밀도(電荷密度, charge density), <math> \displaystyle \mathbf{J} = \rho \mathbf{u} </math>는 전류 밀도(電流密度, current density)라 불린다.

유도 과정은 [[질량]]에 대한 연속 방정식과 동일하므로 생략한다.

||<tablealign=center><#FFFFFF> <math> \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 </math> ||

=== [[에너지]]에 대한 연속 방정식 ===
[[포인팅 벡터]] 항목 참조

[[분류:방정식]] [[분류:물리학]]

연속 방정식 - 편집 역사

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