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[include(틀:다른 뜻1, other1=대한민국의 걸그룹 써클,rd1=써클)]

* [[수학 관련 정보]]

||<-2><#FFFFFF> http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/Circle-withsegments.svg/220px-Circle-withsegments.svg.png ||
||<#dddddd><:><-2> '''언어별 명칭''' ||
|| '''[[순우리말]][br][[한자어]]''' || 동그라미[br][[원]] ||
|| [[라틴어]] || [[오르비스|Orbis]] ||
|| [[영어]] || Circle ||
|| [[일본어]] || [[엔|{{{#!html<ruby><rb>円</rb><rp>(</rp><rt>えん</rt><rp>)</rp></ruby>}}}]][br][[마루|{{{#!html<ruby><rb>丸</rb><rp>(</rp><rt>まる</rt><rp>)</rp></ruby>}}}]] ||

~~잘 그리면 변태라 카더라~~[* 왜 그렇냐면 '''[[유방(신체)|이것]]'''의 생김새가 원같이 생겼기 때문. 그야말로 카더라이며, 무엇보다 일반인 한정이다. 미술이나 디자인계열을 생업으로 종사하는 사람 입장에서는 원 같은 기본도형 드로잉은 못 그릴래야 못 그릴 수가 없다. 심지어 수학에서도 원을 매우 자주 그린다.]

[목차]

== 개요 ==
Circle. [[기하학]]에 등장하는 [[도형]]의 일종. 수학적 정의는 '2차원 평면의 한 점으로부터 특정 거리만큼 떨어진 점들의 집합'이다. [[정다각형]]도 변의 수가 무한대로 발산하면 원에 가까워지지만,[* 폴리곤 그래픽이 원을 이런식으로 처리한다.] 원과의 정의와는 부합하지 않으므로 엄밀한 의미에서의 원으로는 간주하지 않는다.

그 점부터의 특정 거리를 '반지름(radius)'이라고 하며, 이 원에서 일정 크기만큼 파이 조각처럼 잘라낸 도형을 '부채꼴', 그 부채꼴의 곡선을 '호'라고 한다. 원의 무작위 부분을 직선으로 잘라내어 생긴 도형을 '[[활]]꼴', 그 활꼴의 두 점을 잇는 선을 '현'이라고 한다.

[[원뿔곡선]] 중 가장 간단한 형태로, 해석적으로 표현하자면 일반형으로는 <math>x^2+y^2+Ax+By+C=0</math>로, 표준형으로는 <math>\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2</math>로 표현한다. 표준형에서 <math>a</math>와 <math>b</math>는 원의 중심이 <math>\left(a,b\right)</math>라는 것을 나타내며, <math>r</math>은 반지름이다. 원리는, <math>\left(x,y\right)</math>가 원 위에 있는 모든 점들을 나타내므로 원의 중심 <math>\left(a,b\right)</math>와 <math>\left(x,y\right)</math>의 거리가 전부 <math>r</math>이어야 하는데, 이 때 해당 거리를 나타내는 공식이 <math>\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2</math>의 제곱근(= 반지름)이므로 여기에서 더 단순화 시키기 위해 양변을 제곱해서 위와 같은 식이 도출되는 것이다.

위에서 설명했다시피 표준형 함수를 보고 원의 형태를 알아내는 것은 매우 쉬운데, 예를 들어 <math>\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=16</math>의 형태는 중심의 좌표가 (2,4)이며 반지름이 4인 원이기 때문이다. 반면 일반형으로 나타내어져 있는 원의 형태는 일일히 식에 <math>x</math>좌표를 대입해서 계산하거나 하지 않는 이상 바로 알아내기가 거의 불가능에 가깝다. 즉, 일반형으로 나타내어져 있는 원의 형태를 구하는 방법은 그 식을 표준형으로 변경하는 것.

<math>x^2+y^2-6x-4y-12=0</math>를 표준형으로 변형하려면
1. 일단 완전제곱식을 이용하니 그러기 편하도록 항들을 옮긴다.

* <math>x^2-6x+y^2-4y-12=0</math>

2. 완전제곱식으로 묶을 수 있도록 상수항들을 추가하고, 결과적인 값이 변하지 않도록 같은 값을 빼준다.

* <math>\left(x^2-6x+9\right)+\left(y^2-4y+4\right)-12-9-4=0</math>
* 계산하면 <math>\left(x^2-6x+9\right)+\left(y^2-4y+4\right)-25=0</math>

3. 각각 인수분해한다.

* <math>\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2-25=0</math>

4. 상수항을 오른쪽으로 이항하면 끝.

* <math>\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25</math>

즉 <math>x^2+y^2-6x-4y-12=0</math>는 중심의 좌표가 <math>\left(3,2\right)</math>이고 반지름이 <math>5</math>인 원이다. [[참 쉽죠?]]

표준형으로 나타낸 원이 원의 형태를 직관적으로 알아내기에 훨씬 좋으나 그럼에도 불구하고 일반형 함수를 계속해서 사용하는 이유는 세 점의 좌표가 주어졌을 때 각각의 점을 모두 지나는 원을 구하는 것이 표준형보다 일반형이 훨씬 쉽기 때문이다. <math>x^2+y^2+Ax+By+C=0</math>에 세 점의 좌표를 각각 대입한 뒤 얻어진 3개의 1차 방정식을 연립으로 풀어 <math>A,\,B,\,C</math>값을 각각 구해내기만 하면 되기 때문. 여기에 위쪽에서 설명한 과정까지 거친다면 원의 모양도 쉽게 알아낼 수 있다.

원의 정의를 확장해서, <math>n</math>차원 공간에서 한 점으로부터 특정 거리만큼 떨어진 점들의 집합<math>S^{n-1}:=\left\{x\in\mathbb{R}^n:\left\Vert x\right\Vert=1\right\}</math>을 <math>n</math>차원 원이라고 부른다. 간단한 예시를 들자면 구(Sphere)는 3차원 원으로 <math>S^{2}</math>이고, 1차원 원은 특정한 점으로부터 특정 거리만큼 떨어진 두 개의 점으로 정의된다. 4차원 이상인 경우 <math>n</math>차원 원을 그냥 '원'이라고 불러도 보통은 문맥상 의미가 통하지만, 3차원 공간인 경우 반드시 '구'라고 불러야 3차원 원을 지칭한다.

2차원 원 <math>S^{1}</math>은 흔히 생각하는 그 원으로, <math>\mathbb{C}</math>의 부분집합으로 생각할 수 있다(<math>S^{1}</math>의 원소 <math>\left(x,\,y\right)</math>를 <math>\mathbb{C}</math>의 <math>x+yi</math>에 대응시키면 된다. [[복소평면]]을 생각하면 아주 당연한 대응이다). 이렇게 생각하면, <math>S^{1}</math> 자체는 하나의 가환군이된다.

대수적 위상수학에서 기본군을 계산하는 가장 간단한 예가, <math>S^{1}</math>으로 <math>\pi_{1}\left(S^{1}\right)=\mathbb{Z}</math>이다.

원의 중심과 그 중심에서 뻗어나가는 직선 하나를 기준으로 잡은 뒤, 중심에서의 거리(반지름)과 직선으로부터의 각도를 기준으로 삼는 [[좌표]]계를 극좌표계(Polar coordinate)라고 한다. 특정 지점으로부터의 거리에 따라 달라지는 함수(파동이라던가 전자기력, 중력 등)를 기술할 때 주로 쓰인다.

[[컴퍼스]]를 사용하면 손으로도 쉽게 그릴 수 있다.

== 관련 공식 ==
* 둘레의 길이 : <math>2\pi r</math> (π는 [[원주율]]. 대개 3.14 또는 3.14159까지 표시)
* 넓이 : <math>\pi r^2</math>
* 평면[[좌표]]계로 나타내는 중심이 원점이고 반지름이 <math>r_0</math>인 [[원의 방정식]]은 <math>x^2+y^2={r_0}^2</math>이며, [[극좌표계]]로 나타내는 원의 방정식은 <math>r=r_0</math>이다.
* 호의 길이 : 반지름이 <math>r</math>이고 중심각이 <math>\theta</math>인 호의 길이: <math>l=r\theta</math> [* 단, 이 때 <math>0<\theta\leq2\pi</math>이며, <math>\theta</math>는 라디안으로 나타낸 각이다.) 호도법에서의 <math>\theta</math>는 특수각 범위에서 정의 상 반지름 1인 호의 길이이므로, [[닮음]]을 이용하여 쉽게 보일 수 있다.]
* 부채꼴의 넓이 : 반지름이 <math>r</math>이고 중심각이 <math>\theta</math>인 부채꼴의 넓이: <math>S=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}rl</math> (단, <math>l</math>은 호의 길이) [* 마찬가지로 호도법에서의 부채꼴의 넓이는 정의 상 <math>\frac{1}{2}\theta</math>이므로 [[닮음]]을 이용하여 보일 수 있다. ]
* 현의 길이 : <math>2r\sin\frac{\theta}{2}</math> [* 이 때 <math>\theta</math>는 현의 양 끝점과 원의 중심이 이루는 중심각이다. ]
* 원주상의 한 점 <math>\left(x_1,y_1\right)</math>에서 그은 [[접선]]의 방정식: <math>\left(x_1-a\right)\left(x-a\right)+\left(y_1-b\right)\left(y-b\right)=r^2</math>
* 기울기가 <math>m</math>인 [[접선]]의 방정식: <math>y-b=m\left(x-a\right)\pm\sqrt{r^2\left(m^2+1\right)}</math>
[[분류:기하학]]
[include(틀:문서 가져옴, title=원, version=76)]

원(도형) - 편집 역사

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