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||<tablealign=center><-6><:><bgcolor=#CDEFAB> [[차원]] ||
|| 0 || 1 || [[2차원|2]] || [[3차원|3]] || [[4차원|4]] || [[5차원|5]] ||
|| [[점]] || [[선]]([[길이]]) || [[면]]([[넓이]]) || [[입체]]([[부피]]) ||<-2> 초입체(초부피) ||

[include(틀:정다면체)]
||<tablealign=center><-6><:><bgcolor=#c0c0c0>[[4차원 정다포체|'''4차원 볼록 정다포체''']]||
||[[정오포체]]||[[정팔포체]]||[[정십육포체]]||[[정이십사포체]]||[[정백이십포체]]||[[정육백포체]]||

||<tablealign=center><-3><:><bgcolor=#c0c0c0>5차원 이상의 정다포체||
||[[단체(기하학)|단체(Simplex)]]||[[초입방체|초입방체(Hypercube)]]||[[정축체|정축체(Orthoplex)]]||

[목차]

== 개요 ==
[[기하학]]에 등장하는 [[도형]]의 일종.

n차원 유클리드 초공간에서 이루고 있는 모든 n-1차원 도형(이하 facet)이 합동이고 regular인 facet으로 이루어져 있으며, 각각의 n-3차원 도형에서 만나는 facet의 개수가 같은 n차원 폴리토프를 말한다.
2차원의 경우 정다각형, 3차원의 경우 정다면체, 4차원 이상의 경우 정다포체라고 부른다.

== 볼록 정다포체의 조건 ==
모든 차원의 볼록 정다포체의 경우, 하나의 ridge에 두 개의 facet이 모여야 하며, 하나의 n-3차원 도형에서 만나는 3개 이상의 facet들이 이루는 내각, 이면각, dichoral angle, diteron angle...의 합이 360º를 넘지 않아야 한다.
* 2차원 : 무수히 많은 볼록 정다각형을 만들 수 있다.
* 3차원
* 정삼각형은 한 내각이 60º이고, 60º×6=360º이므로 6개 이상이 모이도록 볼록 정다면체를 만들 수 없다.
* '''[[정사면체]]''' : 정삼각형 3개가 한 꼭지점에 모아 만든다. 한 꼭지점에서 내각의 합 = 60º×3 = 180º
* '''[[정팔면체]]''' : 정삼각형 4개가 한 꼭지점에 모아 만든다. 한 꼭지점에서 내각의 합 = 60º×4 = 240º
* '''[[정이십면체]]''' : 정삼각형 5개가 한 꼭지점에 모아 만든다. 한 꼭지점에서 내각의 합 = 60º×5 = 300º
* 정사각형은 한 내각이 90º이고, 90º×4=360º이므로 4개 이상이 모이도록 볼록 정다면체를 만들 수 없다.
* '''[[정육면체]]''' : 정사각형 3개가 한 꼭지점에 모아 만든다. 한 꼭지점에서 내각의 합 = 90º×3 = 270º
* 정오각형은 한 내각이 108º이고, 108º×4=432º이므로 4개 이상이 모이도록 볼록 정다면체를 만들 수 없다.
* '''[[정십이면체]]''' : 정오각형 3개가 한 꼭지점에 모아 만든다. 한 꼭지점에서 내각의 합 = 108º×3 = 324º
* 4차원의 경우
* 정사면체는 한 이면각이 <math>\displaystyle\cos^{-1}\frac{1}{3}\approx70.53^\circ</math>이고, 70.53º×6 = 423.18º이므로 6개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
* '''[[정오포체]]''' : 정사면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서 이면각의 합 ≈ 70.53º×3 = 211.59
* '''[[정십육포체]]''' : 정사면체 4개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서 이면각의 합 ≈ 70.53º×4 = 282.12
* '''[[정육백포체]]''' : 정사면체 5개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서 이면각의 합 ≈ 70.53º×5 = 352.65
* 정육면체는 한 이면각이 90º이고, 90º×4=360º이므로 4개 이상이 모이도록 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
* '''[[정팔포체]]''' : 정육면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서 이면각의 합 = 90º×3 = 270º
* 정팔면체는 한 이면각이 <math>\displaystyle\cos^{-1}\frac{1}{3}\approx109.47^\circ</math>이고, 109.47º×4 = 437.88º이므로 4개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
* '''[[정이십사포체]]''' : 정팔면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서 이면각의 합 ≈ 109.47º×3 = 328.41º
* 정십이면체는 한 이면각이 <math>\displaystyle\cos^{-1}\frac{\sqrt5}{5}\approx116.56^\circ</math>이고, 116.56º×4 = 466.24이므로 4개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
* '''[[정백이십포체]]''' : 정십이면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서 이면각의 합 ≈ 116.56º×3 = 349.68º
* 정이십면체의 한 이면각은 <math>\displaystyle\cos^{-1}\frac{\sqrt5}{3}\approx138.19^\circ</math>이므로, 138.19º×3 = 414.57º로 360º를 초과한다. 따라서 정이십면체로는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
* 5차원과 그 이상의 경우
* 정오포체의 한 dichoral angle은 <math>\displaystyle\cos^{-1}\frac{1}{4}\approx75.52^\circ</math>이고, 75.52×5 = 377.6º이므로 5개 이상이 한 면에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
* 정팔포체의 경우 한 dichoral angle은 90º이고, 90º×4=360º이므로 4개 이상이 모이도록 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
* 정십육포체와 정이십사포체의 경우, 한 dichoral angle이 120º이므로 3개가 한 면에 모이면 360º가 되므로 5차원 이상의 정다포체를 이룰 수 없다. 정이백포체는 144º, 정육백포체는 <math>\displaystyle\tan^{-1}(\sqrt15+2\sqrt3)\approx164.47^\circ</math>이므로 이들 정다포체들로는 5차원 이상의 정다포체를 만들 수 없다. n≥6 인 n-단체의 두 facet이 이루는 각은 75.52보다 크고 90º보다 작다. 따라서 n-1-단체 3개 또는 4개를 모아 n-단체와 n-정축체를 만들 수 있다. n-초입방체의 경우 두 facet이 이루는 각은 무조건 90º이므로, 3개만 모을 수 있다. 따라서 n≥5일 경우, 다음의 세 정다포체만이 존재한다.
* '''n-단체''' = n차원 정(n+1)포체
* '''n-초입방체''' = n차원 정(2n)포체
* '''n-정축체''' = n차원 정2^^n^^포체
== 연관항목 ==
* [[다각형]]
* [[정다면체]]
* [[4차원 정다포체]]

[[분류:기하학]]

정다포체 - 편집 역사

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