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Cauchy's functional equation
[목차]
== 개요 ==
코시 함수 방정식이란 다음과 같은 함수 방정식을 말한다.
<math>f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)</math>
[[군(대수학)|덧셈군]] <math>\left(G, +\right)</math>에 대하여 위를 만족하는 함수 <math>f:G\to G</math>는 <math>G</math>의 자기 준동형 사상이 된다. 유리수의 덧셈군으로서의 자기 준동형 사상은 상수배 함수인 <math>f\left(x\right)=ax</math>의 꼴뿐이지만(a는 상수), [[선택공리]]에 따르면 [[실수(수학)|실수]]의 덧셈군으로서의 자기 준동형 사상은 상수배 함수만 있지 않다.

== 유리수 범위 해법 ==
함수 <math>f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}</math>가 임의의 유리수 <math>x, y</math>에 대하여 <math>f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)</math>를 만족한다고 하자.

<math>x=y=0</math>을 대입하면 <math>f\left(0\right)=f\left(0\right)+f\left(0\right)</math>이므로 <math>f\left(0\right)=0</math>이다. 그리고 자연수 <math>n</math>에 대하여 <math>f\left(n+1\right)=f\left(n\right)+f\left(1\right)</math>이므로 [[수학적 귀납법]]에 의해 <math>f\left(n\right)=nf\left(1\right)</math>이 성립한다. 같은 방법으로 자연수 <math>m</math>에 대하여 <math>\displaystyle f\left(\frac{1}{m}\right)=\frac{1}{m}f\left(1\right)</math>임도 알 수 있다. 이 두 가지를 결합하면 <math>\displaystyle f\left(\frac{n}{m}\right)=\frac{n}{m}f\left(1\right)</math>이므로, 임의의 양의 유리수 <math>q</math>에 대해 <math> f\left(q\right)=qf\left(1\right)</math>이다.

양의 유리수 <math>q</math>에 대하여 <math>f\left(q+\left(-q\right)\right)=f\left(q\right)+f\left(-q\right)</math>이므로 <math>f\left(-q\right)=-f\left(q\right)</math>이다. 따라서 모든 유리수 <math>q</math>에 대하여 <math> f\left(q\right)=qf\left(1\right)</math>이 성립한다.

<math>f\left(1\right)=a</math>로 놓으면 <math>f\left(x\right)=ax</math>를 얻는다.

== 실수 범위 해법 ==
함수 <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math>가 임의의 실수 <math>x, y</math>에 대하여 <math>f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)</math>를 만족한다고 하자.

그러면 유리수에서와 같은 방법을 이용해, 임의의 유리수 <math>q</math>와 임의의 실수 <math>x</math>에 대하여 <math> f\left(qx\right)=qf\left(x\right)</math>임을 알 수 있다. 그러나 임의의 실수 <math>x</math>에 대해 <math>f\left(x\right)=f\left(1\right)x</math>임을 보이려면 다음과 같은 조건들 중 하나를 더 추가해야 한다.
* <math>f</math>가 어떤 한 점에서 미분가능하다.
* <math>f</math>가 어떤 한 점에서 연속이다.
* <math>f</math>가 어떤 열린 구간에서 [[유계]]이다.
* <math>f</math>가 어떤 열린 구간에서 단조이다.
이 네 가지 조건은 어느 하나만 추가하더라도 <math>f</math>가 상수배 함수임이 유도되지만, 원래의 코시 함수 방정식만 만족하는 함수에는 상수배 함수가 아닌 것도 존재한다.

== 상수배 함수가 아닌 해 ==
=== 존재성 ===
유리수체 위의 실수 집합은 [[벡터공간]]을 이룬다. 선택공리에 의하면 벡터공간은 임의의 선형독립인 부분집합에 대해 그것을 포함하는 기저가 존재한다. 그러면 <math>\left\{1\right\}</math>는 선형독립이므로 1을 원소로 가지는 기저 <math>\mathcal{B}</math>가 존재한다. <math>\mathcal{B}</math>가 이 벡터공간의 기저이면 0이 아닌 임의의 실수 <math>x</math>에 대하여 <math>\mathcal{B}</math>의 유한 부분집합 <math>\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\}</math>이 '''유일'''하게 존재하여 <math>x=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n</math>을 만족하는 0이 아닌 유리수 순서모음 <math>\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)</math>이 '''유일'''하게 존재한다.

이때 아무렇게나 함수 <math>g:\mathcal{B} \to \mathbb{R}</math>를 정의했을 때 <math>f\left(v_i\right)=g\left(v_i\right)</math>이 되도록 함수 <math>f</math>를 정의하면 <math>f</math>가 상수배 함수가 아니게 되는 것이 가능해진다. 예를 들어 <math>g</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다. (<math>v_i \in \mathcal B</math>)
<math>g\left(v_i\right)=\begin{cases}1 \,\ \left(v_i=1\right)\\ \\0 \,\ \left(v_i \neq 1\right) \end{cases}</math>
이렇게 정의하면 유리수 <math>q</math>와 <math>\mathcal B -\left\{1\right\}</math>의 원소들을 유리수 계수 일차결합해서 만든 무리수 <math>\alpha</math>가 있을 때, <math>q+\alpha</math>의 꼴의 실수에서의 함숫값은 모두 <math>f\left(q\right)</math>와 같아진다. 따라서 <math>f</math>는 상수배 함수가 아니다.

=== 성질 ===
이러한 함수의 그래프는 좌표평면을 조밀하게 메우게 된다. 예를 들어 위에서 정의한 함수 <math>f</math>를 생각하면, <math>\left\{1, \sqrt{2}\right\} \subset \mathcal B</math> 라 할 때 <math>\left(1, 1\right), \left(\sqrt{2}, 0\right)</math>은 모두 <math>f</math>의 그래프 위에 있다. 그런데 <math>f</math>는 코시 함수 방정식을 만족하기 때문에 <math>f</math>의 그래프 위의 점 <math>A, B</math>와 유리수 <math>p, q</math>에 대하여 <math>pA+qB</math>도 항상 <math>f</math>의 그래프 위에 있다. 즉, <math>\left(p+q\sqrt{2}, p\right)</math>와 같은 점들은 모두 <math>f</math>의 그래프 위에 존재한다.

== 관련 문서 ==
* [[코시]]
* [[함수]]
* [[방정식]]
* [[선택공리]]
* [[벡터공간]]

[[분류:대수학]][[분류:해석학]][[분류:집합론]]

코시 함수 방정식 - 편집 역사

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