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* 상위 문서 : [[수학 관련 정보]] - [[각]]

[목차]

== 개요 ==
[[각]] 중에서 특히 중요성이 높은 각의 값을 모아 놓은 문서이다. 일반적인 각과는 달리 특정한 수치로 맞아떨어진다는 특징이 있으며, 삼각형 관련 문제 및 [[미적분]]을 풀 때 특수각을 익혀놔야 하는 상황이 적지 않다.
크게 [[주치]]([0,2π]) 내의 실수 각과 [[허수]] 각을 다루며, 특수각의 [[삼각함수]] 값도 서술한다.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Unit_circle_angles.svg/720px-Unit_circle_angles.svg.png

== [[0]] ==
말 그대로 각도가 0이다. 한 각이 0인 삼각형은 있을 리가 없으므로 [[뭥미]] 싶기도 하지만, 모든 수의 기준이 0인 것처럼, '''[[삼각함수]]의 기준점도 0이다'''.

* <math>\displaystyle \sin 0 = 0</math>
* <math>\displaystyle \cos 0 = 1</math>
* <math>\displaystyle \tan 0 = 0</math>
* <math>\displaystyle \csc 0</math>은 '''정의되지 않는다.'''
* <math>\displaystyle \sec 0 = 1</math>
* <math>\displaystyle \cot 0</math>은 '''정의되지 않는다.'''

== <math>\displaystyle {\pi \over 6}</math> (30˚) ==
정삼각형을 한 꼭지점을 중심으로 2등분하면 얻을 수 있는 각이다.

* <math>\displaystyle \sin {\pi \over 6} = {1 \over 2}</math>
* <math>\displaystyle \cos {\pi \over 6} = {\sqrt{3} \over 2}</math>
* <math>\displaystyle \tan {\pi \over 6} = {1 \over \sqrt{3}}</math>
* <math>\displaystyle \csc {\pi \over 6} = 2</math>
* <math>\displaystyle \sec {\pi \over 6} = {2 \over \sqrt{3}}</math>
* <math>\displaystyle \cot {\pi \over 6} = \sqrt{3}</math>

== <math>\displaystyle {\pi \over 4}</math> (45˚) ==
정사각형을 한 꼭지점을 중심으로 2등분하면 얻을 수 있는 각이다. 뭔가를 쳐서 날릴 때 가장 멀리 가는 각이기도 하다.

* <math>\displaystyle \sin {\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}}</math>
* <math>\displaystyle \cos {\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}}</math>
* <math>\displaystyle \tan {\pi \over 4} = 1</math>
* <math>\displaystyle \csc {\pi \over 4} = \sqrt{2}</math>
* <math>\displaystyle \sec {\pi \over 4} = \sqrt{2}</math>
* <math>\displaystyle \cot {\pi \over 4} = 1</math>

== <math>\displaystyle {\pi \over 3}</math> (60˚) ==
정삼각형의 한 꼭지점을 끼고 있는 각이다.

* <math>\displaystyle \sin {\pi \over 3} = {\sqrt{3} \over 2}</math>
* <math>\displaystyle \cos {\pi \over 3} = {1 \over 2}</math>
* <math>\displaystyle \tan {\pi \over 3} = \sqrt{3}</math>
* <math>\displaystyle \csc {\pi \over 3} = {2 \over \sqrt{3}}</math>
* <math>\displaystyle \sec {\pi \over 3} = 2</math>
* <math>\displaystyle \cot {\pi \over 3} = {1 \over \sqrt{3}}</math>

== <math>\displaystyle {\pi \over 2}</math> (90˚) ==
[include(틀:넘겨주기(문단)2, n1=직각, n2=90도)]

가장 유명하면서도 중요성이 높은 특수각으로, 다름아닌 직각삼각형과 직사각형을 정의하기 위한 각이다. 원의 중심과 접선이 이루는 각도 이 각이며, [[수심]]도 이것으로 정의된다.
[[삼각함수]]의 정의도 이 각을 끼고 있는 삼각형의 변의 비율에서 출발했다. [[미적분|삼각형과는 상관 없는 곳]]에서 더 많이 쓰여서 그렇지...

이 각도와 관련한 부정적인 측면 중 하나로 [[직각식사]]가 있다.

* <math>\displaystyle \sin {\pi \over 2} = 1</math>
* <math>\displaystyle \cos {\pi \over 2} = 0</math>
* <math>\displaystyle \tan {\pi \over 2}</math>는 '''정의되지 않는다.'''
* <math>\displaystyle \csc {\pi \over 2} = 1</math>
* <math>\displaystyle \sec {\pi \over 2}</math>는 '''정의되지 않는다.'''
* <math>\displaystyle \cot {\pi \over 2} = 0</math>

== <math>\displaystyle {2\pi \over 3}</math> (120˚) ==
정삼각형 두 개로 평행사변형을 만들면 생기는 각이다.

* <math>\displaystyle \sin {2\pi \over 3} = {\sqrt{3} \over 2}</math>
* <math>\displaystyle \cos {2\pi \over 3} = -{1 \over 2}</math>
* <math>\displaystyle \tan {2\pi \over 3} = -\sqrt{3}</math>
* <math>\displaystyle \csc {2\pi \over 3} = {2 \over \sqrt{3}}</math>
* <math>\displaystyle \sec {2\pi \over 3} = -2</math>
* <math>\displaystyle \cot {2\pi \over 3} = -{1 \over \sqrt{3}}</math>

== <math>\displaystyle {3\pi \over 4}</math> (135˚) ==
정사각형과 그 절반의 직각삼각형을 합쳐 놓은 각이다.

* <math>\displaystyle \sin {3\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}}</math>
* <math>\displaystyle \cos {3\pi \over 4} = -{1 \over \sqrt{2}}</math>
* <math>\displaystyle \tan {3\pi \over 4} = -1</math>
* <math>\displaystyle \csc {3\pi \over 4} = \sqrt{2}</math>
* <math>\displaystyle \sec {3\pi \over 4} = -\sqrt{2}</math>
* <math>\displaystyle \cot {3\pi \over 4} = -1</math>

== <math>\displaystyle {5\pi \over 6}</math> (150˚) ==
* <math>\displaystyle \sin {5\pi \over 6} = {1 \over 2}</math>
* <math>\displaystyle \cos {5\pi \over 6} = -{\sqrt{3} \over 2}</math>
* <math>\displaystyle \tan {5\pi \over 6} = -{1 \over \sqrt{3}}</math>
* <math>\displaystyle \csc {5\pi \over 6} = 2</math>
* <math>\displaystyle \sec {5\pi \over 6} = -{2 \over \sqrt{3}}</math>
* <math>\displaystyle \cot {5\pi \over 6} = -\sqrt{3}</math>

== <math>\displaystyle {\pi}</math> (180˚) ==
[include(틀:넘겨주기(문단)2, n1=평각, n2=180도)]

평면도형의 모서리가 띠는 각도. 평평하다고 해서 평각이라고도 하며, 관용적으로 "완전히 반대되는 것"을 가리키는 말로도 쓰인다.
주치 구간의 절반 지점이며, 다름아닌 '''[[오일러의 등식]]'''에 이 각이 들어간다.

* <math>\displaystyle \sin {\pi} = 0</math>
* <math>\displaystyle \cos {\pi} = -1</math>
* <math>\displaystyle \tan {\pi} = 0</math>
* <math>\displaystyle \csc {\pi}</math>는 '''정의되지 않는다.'''
* <math>\displaystyle \sec {\pi} = -1</math>
* <math>\displaystyle \cot {\pi}</math>는 '''정의되지 않는다.'''

== <math>\displaystyle {3 \pi \over 2}</math> (270˚) ==
직사각형의 바깥쪽 각이다.

* <math>\displaystyle \sin {\pi \over 2} = -1</math>
* <math>\displaystyle \cos {\pi \over 2} = 0</math>
* <math>\displaystyle \tan {\pi \over 2}</math>는 '''정의되지 않는다.'''
* <math>\displaystyle \csc {\pi \over 2} = -1</math>
* <math>\displaystyle \sec {\pi \over 2}</math>는 '''정의되지 않는다.'''
* <math>\displaystyle \cot {\pi \over 2} = 0</math>

== <math>\displaystyle 2 \pi</math> (360˚) ==
[include(틀:넘겨주기(문단)1, n1=360도)]

한 바퀴 돌아 원점으로 돌아왔다. 여기서 주치(周値)라는 말이 생겼으며, 주치 밖의 값은 <math>2 \pi</math>로 나눈 나머지와 같은 각도로 취급하게 된다.

* <math>\displaystyle \sin 2 \pi = 0</math>
* <math>\displaystyle \cos 2 \pi = 1</math>
* <math>\displaystyle \tan 2 \pi = 0</math>
* <math>\displaystyle \csc 2 \pi</math>은 '''정의되지 않는다.'''
* <math>\displaystyle \sec 2 \pi = 1</math>
* <math>\displaystyle \cot 2 \pi</math>은 '''정의되지 않는다.'''

== [[작도]] 가능한 각도 ==
정삼각형, 직각이등변삼각형을 이용하여 30˚, 60˚, 45˚ 가 작도 가능하다는 데서부터 시작한다.
* 15˚ : 45˚와 30˚가 작도가 가능하므로, 이 둘의 차이를 이용해서 15˚는 작도 가능하다.
* 72˚ : [[정오각형]]은 작도가 가능하다. 그러므로 360˚/5 = 72˚는 작도 가능하다.
* 3˚ : 72˚ 와 60˚ 가 작도 가능하므로, 12˚ 역시 작도 가능하다. 이를 각의 이등분을 이용해서 6˚를 작도 가능하고, 다시 이등분 하면 3˚ 역시 작도 가능하다. 간단히는 72˚와 75˚를 작도해도 된다. 다시 말해 3˚의 배수에 해당되는 각은 모두 작도 가능하다.
* 1.5˚, 0.75˚ , 0.375˚ ... : 3˚ 를 계속 이등분하여 나오는 각들은 모두 작도 가능하다. 또한 이 각들의 정수배들 역시 모두 작도 가능하다.
* <math>\displaystyle \frac {2 \pi}{17}= \frac{360^\circ}{17}</math> (약 21.1764705882˚) : [[카를 프리드리히 가우스#s-2.1|정17각형]]이 작도 가능하므로, 이 각을 역시 작도 가능하다. 참고로, [[페르마 소수]]에 해당하는 정다각형과 그의 2^^n^^배수(이하 동일) 정다각형은 모두 작도 가능하다. 즉, 정257각형과 정66537각형도 작도 가능하며, 이로 부터 유래되는 각도도 작도 가능하다. 또 서로 다른 페르마 소수와의 곱에 해당하는 정다각형[* 정15(=3×5)각형, 정408(=2^^3^^×3×17)각형, 정8224(=2^^5^^×257)각형 등등]도 작도 가능하다. 단, 같은 페르마 소수끼리 곱해서 나온 정다각형[* 정27(=3^^3^^)각형, 정225(=3×5^^3^^)각형, 정1156(=2^^2^^×17^^2^^)각형 등등]은 작도 불가능하다.
== [[허수|<math>{i}</math>]] ==
허수 각이라니 이게 무슨 [[개 풀 뜯어먹는 소리]]냐고 묻는 이들이 있지만, 이 바닥이 그렇듯 현실의 개념을 뛰어넘는 짓거리를 저지르곤 한다(...). 허수 각을 얻은 삼각형은 쌍곡선이라는 다른 도형으로 변하게 되며, 그래서 삼각함수가 [[쌍곡함수]]로 탈바꿈하게 된다.

* <math>\displaystyle \sin{ i } = i\sinh{ 1 } = \frac{ e - e^{ -1 } }{ 2 } i = \frac{ e^2 - 1 }{ 2e } i</math>
* <math>\displaystyle \cos{ i } = \cosh{ 1 } = \frac{ e + e^{ -1 } }{ 2 } = \frac{ e^2 + 1 }{ 2e }</math>
* <math>\displaystyle \tan{ i } = {i \sinh{ 1 } \over \cosh{ 1 }} = \frac{ e^2 - 1 }{ e^2 + 1 }i</math>
* <math>\displaystyle \csc{ i } = {1 \over i\sinh{ 1 }} = -\frac{ 2 }{ e - e^{ -1 } } i = -\frac{ 2e }{ e^2 - 1 } i</math>
* <math>\displaystyle \sec{ i } = {1 \over \cosh{ 1 }} = \frac{ 2 }{ e + e^{ -1 } } = \frac{ 2e }{ e^2 + 1 }</math>
* <math>\displaystyle \cot{ i } = {\cosh{ 1 } \over i \sinh{ 1 }} = -\frac{ e^2 + 1 }{ e^2 - 1 }i</math>

[[분류:수학]]

특수각 - 편집 역사

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