2017년 2월 4일 (토) 17:13에 Maintenance script님의 편집

2017-02-04T17:13:51Z

새 문서

[목차]

== 개요 ==
퍼스(Peirce)의 항진명제는, 다음과 같은 [[진리|항진]]인 [[명제]]이다.

*<math>((p \rightarrow q) \rightarrow p) \rightarrow p</math>

== 증명 ==
이게 항진이라는 것을, 다음과 같이 증명할 수 있다.

[[파일:퍼스의 토톨로지 증명.jpg]]

=== 전제는 없다(1번 라인) ===
항진명제를 증명함에 있어서 중요한 것은, 이 명제가 어떤 경우에서라도 참으로 도출되어야 하는 것이다. 즉, 어떤 전제를 작성하거나 작성하지 않거나에 상관없이, 항진명제라고 하는 것에 대해서는 그 증명이 가능해야 한다는 것이다. 제시한 증명에서는 1번 라인[* 세로줄의 단계를 노드, 가로줄의 순서를 라인으로 부른다.]의 hyp[* 내용의 우측을 확인하자.]로 지정되어 있는 부분이 비어있다. 즉, 없다. 그런 상태에서 퍼스의 항진명제라 하는 조건명제를 증명하는 것이다.

=== 조건문의 조건을 작성한다(2번 라인) ===
퍼스의 항진명제를 구성하는 것은, 결론적으로 <math>\rightarrow</math>로 연결되어 있는 부분이다. 이를 사이에 두고, 화살표의 왼쪽에는 <math>(p \rightarrow q)\rightarrow p</math>가, 오른쪽에는 <math>p</math>가 나타나고 있다. 즉, 이를 증명하기 위해서 조건인 것을 2번에서 가정[* 우측의 hyp 표시로부터 확인한다.]을 노드 2에 세우고, 그 안에서 결론으로 <math>p</math>를 얻으려는 과정을 시작한다.

=== 귀류법을 사용해보자(3-13번 라인) ===
3번 라인에서는 다시 <math>p</math>가 거짓이라고 가정해 본다. 그리고 12번에서 결국 모순이 되는 것을 보임으로써, 결국 <math>p</math>가 거짓이 아니어야 함을 13번 라인에서 제시한다. 그 과정에서 다음과 같은 시도들을 하게 된다.

==== [[대우#s-3|대우명제]]를 사용하자(4-7번 라인) ====
2번 라인의 조건명제에서 결론인 부분을 3번에서 부정하였다. 즉, 조건인 부분이 부정되어 나오는 것이 당연하므로, 7번에서는 2번 명제의 조건 부분이 부정되어 있다.

==== <math>p</math>는 아무래도 좋게 되었다(8-11번 라인) ====
8번 라인에서 <math>p</math>가 참이라고 다시 가정해 본다. 그러면 조건인 <math>p</math>가 어차피 거짓인 명제이므로, 이를 조건으로 갖는 조건명제는 어떤 것이든지 참이다. 즉, 11번 라인에서 <math>p \rightarrow q</math>가 참이라고 해도 할 말 없다는 것.

==== 그러나 그러면 모순(12번 라인) ====
11번 라인에서 <math>p \rightarrow q</math>가 참이라고 내놓긴 했지만, 이건 7번에서 이미 거짓이라고 나와 있는 부분이다. 즉, 모순일 수 밖에 없으므로, 12번 라인에 모순이라고 표시해 둔다.

=== 그렇기에 <math>p</math>(13번 라인) ===
3번 라인의 가정에서부터 12번 라인의 모순이 도출되었으므로, 3번 라인의 가정은 거짓이어야 한다. 이는 <math>p</math>의 거짓이 거짓이라고 하는 것이므로, 13번 라인에서는 <math>p</math>를 참이라고 작성한다.

=== 조건명제의 증명이 끝났다(14번 라인) ===
2번 라인의 조건, <math>(p \rightarrow q)\rightarrow p</math>으로부터 13번 라인의 결론, <math>p</math>로 도착하였다. 즉, 2번 라인의 조건은 13번 라인의 결론을 함의하고 있다. 이를 하나의 조건명제로 표현하여, 14번 라인에 다음과 같이 작성한다.

*<math>((p \rightarrow q ) \rightarrow p ) \rightarrow p </math>

== 증명 완료 ==
[[페르마의 마지막 정리|여백은 많지만 내용이 부족하므로]] 증명을 마친다.

== 진리표를 이용한 증명 ==
진리표를 이용하면 <math>p\rightarrow q</math>는 <math>\neg p\vee q</math>와 동등하다. 따라서 <math>((p \rightarrow q ) \rightarrow p ) \rightarrow p </math>를 <math>\neg \left(\neg \left(\neg p\vee q\right)\vee p\right)\vee p</math>로 변형하면 [[드 모르간의 법칙]]에 따라 <math>\left(\left(\neg p\vee q\right)\wedge \neg p\right)\vee p</math>가 되고, 이는 다시 <math>\neg p\vee p</math>가 되어 항진임을 알 수 있다.

퍼스의 항진명제 - 편집 역사

2017년 2월 4일 (토) 17:13에 Maintenance script님의 편집