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* 상위항목 : [[물리학 관련 정보]]
* 관련 항목: [[물리학 관련 정보]], [[전자기학]], [[에너지 보존 법칙]], [[연속 방정식]]

[[영어]]: Poynting Vector ~~절대로 Pointing 벡터가 아니다! Poynting은 사람 이름이다! ~~
[목차]

== 개요 ==
'''단위 시간 동안 단위 면적을 통과하는 전자기 에너지의 흐름'''을 나타내는 [[벡터]]이다. 포인팅 벡터는 다음과 같이 정의된다.

||<tablealign=center><#FFFFFF> <math> \displaystyle \mathbf{S} \equiv \mathbf{E} \times \mathbf{H} </math> ||

여기서 <math> \displaystyle \mathbf{E} </math>는 전기장, <math> \displaystyle \mathbf{H} </math>는 자기장 세기(magnetic field strength)라 불리는 물리량이다. 포인팅 벡터의 물리적인 의미는 아래에 서술되는 전자기 [[에너지]]에 대한 [[연속 방정식]]에 내포되어 있다.
== 전자기 [[에너지]]에 대한 [[연속 방정식]] ==
'''전자기 [[에너지]]의 [[에너지 보존 법칙|에너지 보존]]을 묘사하는 방정식'''이다.

||<tablealign=center><#FFFFFF><math>\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S} + \mathbf{J}_{f} \cdot \mathbf{E} = 0 </math> ||

여기서

<math> \displaystyle u \equiv \frac{1}{2} \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} + \frac{1}{2} \mathbf{B} \cdot \mathbf{H} </math>

<math> \displaystyle \mathbf{J}_{f} = \rho_{f} \mathbf{v} </math>

는 각각 단위 부피당 전자기장에 저장된 에너지(에너지 밀도), 자유전하(free charge)의 전류 밀도이다.

=== 유도 ===
전자기장 에너지 밀도의 시간에 따른 변화율은

<math> \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} + \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B} \cdot \mathbf{H} </math>

이다.

[[선형대수학|선형적]](線型的, linear)이고 등방적(等方的, isotropic)인 매질에 대해 [[유전율]] <math> \displaystyle \varepsilon </math>과 [[투자율]] <math> \displaystyle \mu </math>는 스칼라가 되는데 이 경우 변위장(變位場, displacement field) <math> \displaystyle \mathbf{D} </math>와 자기장 <math> \displaystyle \mathbf{B} </math>는 다음과 같이 각각 전기장 <math> \displaystyle \mathbf{E} </math>와 자기장 세기 <math> \displaystyle \mathbf{H} </math>에 비례하게 된다.

||<tablealign=center><#FFFFFF><math>\displaystyle \mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E} </math> ||

||<tablealign=center><#FFFFFF><math>\displaystyle \mathbf{B} = \mu \mathbf{E} </math> ||

이로부터

<math> \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \mathbf{E} \cdot \frac{\partial D}{\partial t} + \mathbf{H} \cdot \frac{\partial B}{\partial t} </math>

가 되는데 [[맥스웰 방정식]]에 의하면

||<tablealign=center><#FFFFFF><math>\displaystyle \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} </math> ||

||<tablealign=center><#FFFFFF><math>\displaystyle \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{f} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} </math> ||

가 성립하므로 이를 대입하여 정리하면

<math> \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \mathbf{E} \cdot \left ( \nabla \times \mathbf{H} - \mathbf{J}_{f} \right ) + \mathbf{H} \cdot \left ( - \nabla \times \mathbf{E} \right ) = - \nabla \cdot \left ( \mathbf{E} \times \mathbf{H} \right ) - \mathbf{J}_{f} \cdot \mathbf{E} </math>

가 되어 전자기 [[에너지]]에 대한 [[연속 방정식]]이 유도됨을 알 수 있다.

=== 의미 ===
'''[[전자기학]]에서의 [[에너지 보존 법칙]]이다.''' 이 [[연속 방정식]]을 공간에 대해 적분하고 [[발산 정리]]를 적용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

||<tablealign=center><#FFFFFF><math>\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \int_{\mathbf{V}} u d^{3} r + \int_{\mathbf{V}} \mathbf{J}_{f} \cdot \mathbf{E} d^{3} r = - \oint_{\partial \mathbf{V}} \mathbf{S} \cdot d \mathbf{a} </math> ||

좌변의 첫째항은 영역 <math> \displaystyle \mathbf{V} </math> 안의 전자기장에 저장된 에너지의 (시간에 따른) 변화율, 둘째항은 이 영역에서 단위 시간당 전기장이 자유전하에 해주는 일이고 우변은 이 영역의 경계면 <math> \displaystyle \partial \mathbf{V} </math>를 통해 단위 시간당 유입되는 에너지이다. 이로부터 경계면을 통해 유입되는 에너지의 일부는 경계면 내부 영역의 전자기장에 저장된 에너지를 변화시키고 나머지는 전하에 일을 해주는데 쓰인다는 것을 알 수 있다.

전기장이 전하에 해준 일은 줄 발열(Joule heating)이라는 현상으로 나타난다.

[[분류:물리학]][[분류:전자기학]]

포인팅 벡터 - 편집 역사

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