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||<tablealign=center><-6><:><bgcolor=#CDEFAB> [[차원]] ||
|| 0 || 1 || [[2차원|2]] || [[3차원|3]] || [[4차원|'''4''']] || [[5차원|5]] ||
|| [[점]] || [[선]]([[길이]]) || [[면]]([[넓이]]) || [[입체]]([[부피]]) ||<-2> 초입체(초부피) ||

||<tablealign=center><-6><:><bgcolor=#c0c0c0> [[4차원 정다포체|'''4차원 볼록 정다포체''']] ||
||[[정오포체]]||[[정팔포체]]||[[정십육포체]]||[[정이십사포체]]||[[정백이십포체]]||[[정육백포체]]||

[목차]

== 개요 ==
||https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/5-cell.gif||https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d7/8-cell.gif||https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a0/16-cell.gif||
||↑ 정오포체||↑ 정팔포체||↑ 정십육포체||
||https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f4/24-cell.gif||https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f9/120-cell.gif||https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1e/600-cell.gif||
||↑ 정이십사포체||↑ 정백이십포체||↑ 정육백포체[* 숫자는 더 큰데 오히려 [[정백이십포체]]보다 작아 보이는 이유는 [[정백이십포체]]는 [[정십이면체]]로 이루어져 있지만 [[정육백포체]]는 [[정사면체]]로 이루어져 있기 때문이다.]||
||<-3>회전하는 4차원 정다포체들을 3차원에 투영시킨 모습||
四次元正多胞體/4-Dimensional Regular Polychoron (또는 regular polychoron, regular 4-polytope)

[[기하학]]에 등장하는 [[4차원]] [[도형]]의 일종.

4차원 다포체 중에서 모든 면이 합동인 정다면체로 이루어져 있으며, 각 선분에서 만나는 입체의 개수가 같은 다포체를 말한다.

== 종류 ==
여섯 개의 볼록 정다포체와 열 개의 오목 정다포체가 존재한다.

=== 볼록 정다포체 ===
({p,q,r}은 슐레플리 부호.)
* [[정오포체]] : 5개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {3,3,3}
* [[정팔포체]] = [[테서랙트]] : 8개의 정육면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {4,3,3}
* [[정십육포체]] : 16개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {3,3,4}
* [[정이십사포체]] : 24개의 정팔면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 4개. : {3,4,3}
* [[정백이십포체]] : 120개의 정십이면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {5,3,3}
* [[정육백포체]] : 600개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 5개. : {3,3,5}

=== 오목 정다포체 ===
* 큰 거대 별모양 백이십포체 (Great Grand Stellated 120-cell) : {5/2, 3, 3}
* 큰 별모양 백이십포체 (Great Stellated 120-cell) : {5/2, 3, 5}
* 거대 별모양 백이십포체 (Grand Stellated 120-cell) : {5/2, 5, 5/2}
* 작은 별모양 백이십포체 (Small Stellated 120-cell) : {5/2, 5, 3}
* 큰 이십면체 백이십포체 (Great Icosahedral 120-cell) : {3, 5/2, 5}
* 거대 육백포체 (Grand 600-cell) : {3, 3, 5/2}
* 정이십면체 백이십포체 (Icosahedral 120-cell) : {3, 5, 5/2}
* 큰 거대 백이십포체 (Great Grand 120-cell) : {5, 5/2, 3}
* 큰 백이십포체 (Great 120-cell) : {5, 5/2, 5}
* 거대 백이십포체 (Gand 120-cell) : {5, 3, 5/2}

=== 입체와 면과 모서리와 꼭지점의 개수 ===
볼록 정다포체의 입체의 개수를 <math>C</math>, 면의 개수를 <math>F</math>, 모서리의 개수를 <math>E</math>, 꼭지점의 개수를 <math>V</math>라고 할 때,
<math>V-E+F-C</math>[* 오일러 지표(Euler characteristic)라고 한다.] <math>=</math> [[0|<math>0</math>]]이다.

||<(>__정다포체__||입체의 개수||면의 개수||모서리의 개수||꼭지점의 개수||
||<(>[[정오포체]]||<)>5||<)>10||<)>10||<)>5||
||<(>[[테서랙트|정팔포체]]||<)>8||<)>24||<)>32||<)>16||
||<(>[[정십육포체]]||<)>16||<)>32||<)>24||<)>8||
||<(>[[정이십사포체]]||<)>24||<)>96||<)>96||<)>24||
||<(>[[정백이십포체]]||<)>120||<)>720||<)>1200||<)>600||
||<(>[[정육백포체]]||<)>600||<)>1200||<)>720||<)>120||

== 여담 ==
[[플라톤]]이 5개의 볼록 정다면체에 [[4원소설|그리스의 4원소]]들을 대응시켰듯[* 불은 정사면체, 흙은 정육면체, 공기는 정팔면체, 물은 정이십면체, 그리고 에테르(또는 공간, 또는 우주)를 정십이면체에 대응시켰다.], '''정식명칭은 아니지만''' 4차원 정다포체에 대해서도 4원소설의 원소들과 대응되는 이름으로 부르는 사람들이 있다. 단, 4차원 볼록 정다포체는 총 6개로 4원소+(5번째 원소인 에테르)[* 또는 공간, 또는 우주]를 만족시키기 어려우므로 정이십사포체에 대하여 동양의 음양오행설에서의 [[나무]]를 따와 Xylochoron(xylo- : 나무)이라고 부른다.
||원소||대응되는 플라톤의 정다면체||대응되는 정다포체 (별명)||
||불||[[정사면체]]||[[정오포체]] (pyrochoron)||
||땅||[[정육면체]]||[[정팔포체]] (geochoron)||
||공기||[[정팔면체]]||[[정십육포체]] (aerochoron)||
||나무(4원소설의 원소가 아님)|| ||[[정이십사포체]] (xylochoron)||
||에테르(또는 공간, 또는 우주)||[[정십이면체]]||[[정백이십포체]] (cosmochoron)||
||물||[[정이십면체]]||[[정육백포체]] (hydrochoron)||

단체(simplex), 초입방체(hypercube), 또는 정축체(orthoplex)가 아닌 볼록한 정다포체는 4차원 유클리도 공간까지만 존재한다. 즉, 5차원부터는 볼록한 정다포체가 오직 3개까지만 존재한다.[* 각각 n차원 정(n+1)포체(= 단체), n차원 정(2n)포체(=초입방체), 그리고 n차원 정2^n포체(=정축체)이다.]
== 연관항목 ==
* [[4차원]]
* [[정다면체]]

[[분류:기하학]]

4차원 정다포체 - 편집 역사

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