1 개요
三體問題
Three-Body problem
삼체문제란 세 물체 간의 중력이 어떻게 작용하고, 이 결과로 어떠한 궤도 움직임을 보이는지에 관하여 다루는 문제이다. 이것의 연구가 훗날 카오스 이론의 등장에 영향을 주게된다.
2 상세
삼체문제는 고전역학에 속하는 문제로, 아이작 뉴턴이 프린키피아에서 세 개 물체의 만유인력 상호작용에 대해 최초로 언급하였다.
물체 두 개가 중력이 상호간에 어떤 식으로 작용하고, 어떤 궤도 움직임을 보일 것인지에 관하여 예측하는 일은 매우 쉽다(이것을 이체문제라고 한다). 물체 두 개의 중력 상호작용은 보통 만유인력과 같은 역제곱 법칙이기 때문에 언제나 해석적인 해를 구할 수 있다. 즉, 물체 두 개의 질량이 각각 어떠하고, 어떤 위치에 놓여있는지 안다면 이들이 서로 중력을 어떻게 주고받고 어떤 궤도 운동을 하는지 알아내는 건 식은 죽 먹기다.
하지만 물체가 3개라면 얘기는 달라지는데, 세 물체 간에 작용하는 중력과 그에 의한 궤도 운동을 예측하는 건 쉬운 일이 아니다. 삼체문제는 물체들이 움직일 수 있는 궤도의 차원이 이체문제보다 한 차원 더 높고, 적용해야할 변수가 하나 더 늘어났기 때문이다.
글로 표현해서 실감이 잘 안나겠지만 삼체문제는 수리물리학 분야에서 손꼽히는 골치아픈 난제이다. 18세기 중반부터 라그랑주, 라플라스, 뉴턴 등 여러 쟁쟁한 수학자들이 달려들었지만 이렇다할 결과물을 내놓지 못했다. 결국 1887년에 앙리 푸앵카레[1]라는 수학자가 삼체문제의 일반해를 구하는 것이 불가능하다는 것을 증명하면서 이 부분에 도전하는 수학자들은 없어졌다. 현대에는 일반적인 상황에 대해서는 대부분 수치적인 방법으로 삼체문제를 해결한다.
다만 특수해에 해당하는 몇가지 경우는 발견되었다. 대표적으로 라그랑주점이 있는데, 모체를 중심으로 하는 직선상의 물체들(L3, L4, L5)들이 그것이다.
이 지점은 모체에서 중심각이 각각 120° 정도 떨어진 곳(정삼각평형해)에 위치한 곳이다.[2] 이 특수한 경우는 조제프루이 라그랑주가 1775년에 발견했다.
이 외에도 8자형 궤도운동, Broucke-Henon-Hadjidemetriou family 이렇게 총 세 개의 특수해가 존재한다.
3 분류
3.1 특수가정 분류
삼체문제에서 특수해를 구하기 위해 특수한 가정을 세우는데, 여기에는 몇가지 분류가 있다.
- 평면 삼체문제 : 세 물체가 모두 동일한 평면 위에서 궤도 운동을 하는 경우
- 제한 삼체문제 : 세 물체 중 하나가 나머지 두 개의 물체에 대해 영향을 미치지 않을만큼 질량이 작은 경우
- 원제한 삼체문제 : 세 물체가 원 궤도를 그리며 운동하는 경우. 라그라주점이 여기에 속한다.
제한 삼체문제를 잘 이용하면 근사적인 이체문제의 해로 구할 수 있다. 실제로 태양계에서는 태양의 질량이 압도적으로 높기 때문에 행성들이 타원에 가까운 궤도를 그릴 수 있는 것이다.
3.2 다체문제
삼체를 넘어서 사체, 오체로 넘어가면 더 어려워진다. 4체 이상은 일반해는커녕 특수해조차 발견되지 않았다. 이 경우에는 이체문제의 해를 통해 근사적으로 풀거나 수치적인 방법으로 풀어야한다.
4 연구 현황
최근 세르비아의 한 수학자가 무려 13개나 되는 특수해들을 발견했다고 주장하고 있다. (해당 논문: [1])
만약 이게 사실이라면 특수해의 개수는 기존의 3개에서 16개로 대폭 늘어난 셈이다.