다항식 문서 원본 보기

 * 상위 항목: [[수학]], [[수학 관련 정보]]

[목차]

== 개요 ==
'''다항식'''은 변수와 상수(중고등학교까지는 어떤 것이 상수로 올 수 있는지 명확하게 정해져 있지는 않다. 대개 중학교까지는 a, b, c 등의 문자 또는 1, -1, 2, -2, 3, ... 등의 정수 정도를 쓰고, 고등학교쯤 되면 유리수가 꽤 보이고 무리수도 가끔씩.) [* 학부 이후에선 'Q 위의 다항식 ', 'R 위의 다항식', 'C 위의 다항식' 과 같이 명시한다.]들의 합, 차, 곱으로 이루어진 식을 말한다. 또는 -1도 상수이므로 변수와 상수들의 합과 곱으로 이루어진 식이라고 할 수도 있겠다.[* 대수학에서 [[환(대수학)]]이라고 부르는 녀석의 예시.]  

고등학교 수준에서의 다항식의 정의를 내리자면 <math>\displaystyle \sum _{k=0} ^{n} {a_k x^k} (a_n \in \mathbb{R}, n=0, 1, 2, 3, ...)</math>로 표현할 수 있는 식이다.[* n=0일 수도 있으므로 단항식이나 상수만 딸랑 있는 식도 다항식에 포함된다.]

덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있지만 나눗셈에 대해서는 닫혀 있지 않고, 영인자는 존재하지 않는다. [* 이런 성질들은 정수 전체의 집합 Z도 가지고 있고, Z와 다항식 전체의 집합은 [[환(대수학)]] 중에서도 정역이라고 부르는 것의 대표적인 예시이다. 최대공약수와 최소공배수를 생각하는 것도 또 다른 공통점 중 하나.]

[[중학교]] 너머의 수학에서 방석으로 깔고 들어가는 것으로 조잡한 [[사칙연산|연산질]]과 계산에서 한발짝만 더 나오는 순간 당신을 대면하는 것. 사실상 문자와 식의 도입과 계산이 초등학교까지의 수학과의 차이이면서 중학교 이후의 수학의 토대가 되므로, 반드시 잘 이해하고 넘어가도록 하자.~~아니면 나중에 고생할지도 모르니까~~

다항식만으로 이뤄진 [[함수]]를 대수함수라고 한다.

== 용어 ==
 * [[항]]: 다항식을 이루고 있는 각각의 단항식
 * 차수
  * 항의 차수: 항에서 특정한 문자가 곱해진 개수
  * 다항식의 차수: 특정한 문자에 대하여 각 항의 차수 중에서 가장 높은 것
 * 계수: 항에서 특정한 문자를 제외한 나머지 부분
 * 상수항: 특정한 문자를 포함하지 않는 항
 * 동류항: 특정한 문자에 대한 차수가 같은 항

잘 이해가 안 된다면 아래의 식을 보자.
><math>3x^2+8x+x+5</math>
이 때 <math>3x^2,8x,x,5</math>를 항이라고 부른다. <math>3x^2</math>에서 3을 <math>x^2</math>의 계수라 하고, <math>^2</math>를 차수라고 한다. 또한, <math>8x</math>와 <math>x</math>를 동류항이라고 한다. 그리고 5를 [[상수]]항이라고 한다.

[[미분]]을 할 경우 차수가 계수로 넘어오고 차수는 1씩 줄어든다. 당연하지만 차수가 0인 상수항은 증발한다. 부정[[적분]]의 경우 이를 되돌리는데, 이미 증발해버린 지 오래인 상수항을 알 길이 없으므로 C로 표기하는 데 여기서의 C를 적분상수라 한다. ~~사실 정적분때는 걍 무시당하는 불쌍한녀석이다.~~
><math>\displaystyle {d \over dx} 3x^2+8x+x+5 = 6x + 8 + 1</math> (위 식을 미분한 꼴)
><math>\displaystyle \int (6x + 8 + 1) dx = 3x^2 + 8x + x + C</math> (위 미분한 식의 부정적분)
><math>\displaystyle \int (3x^2+8x+x+5) dx = x^3 + 4x^2 + {1 \over 2}x^2 + 5x + C</math> (처음 식의 부정적분)

== 기타 ==
중학교 단골문제로 단항식은 다항식이냐는 문제가 출연한다. 참고로 단항식도 다항식이다.
== 관련 항목 ==
 * [[항등식]]
 * [[방정식]]
 * [[부등식]]
 * [[곱셈 공식]]
 * [[인수분해]]

[[분류:대수학]]