문서 편집 권한이 없습니다. 다음 이유를 확인해주세요: 요청한 명령은 다음 권한을 가진 사용자에게 제한됩니다: 사용자. 문서의 원본을 보거나 복사할 수 있습니다. * [[수학 관련 정보]] [목차] == 개요 == Differential Equation ~~Difficult Equation~~ 미지의 함수와 그 함수의 도함수([[미분]])들로 이루어져 있는 [[방정식]]. 미지함수가 일변수이면 상미분항만을 포함한 상미분방정식(Ordinary Differential Equation, ODE)이 되고, 두 개 이상의 변수를 갖는 미지함수와 이에 대한 편미분항들이 등장하면 편미분방정식(Partial Differential Equation, PDE)으로 불린다. == 설명 == === 미분방정식의 의미 === 미분은 연속적으로 변화하는 대상을 수학적으로 분석하기 위한 도구이다. 일반적으로 미분은 변화율[* 독립변수의 변화량 대비 종속변수의 변화량의 비율. 이 비율을 한 점에서 계산한 것을 그 점에서의 미분계수라 하고, 이 값들로 원래 함수의 정의역에서 다시 함수를 만든 것을 도함수라 한다.]을 구한다는 의미를 갖고 있다. 따라서 만약 어떤 양이 주어진 변수들에 대한 함수이고, 이 함수가 도함수들에 의한 일련의 법칙을 만족한다면, 이를 미분방정식으로 기술할 수 있다. 이 미분방정식을 풀면 해당 법칙을 만족하는 구체적인 함수를 알 수 있다는 이야기다. [[물리학]]에서의 운동방정식이 대표적인 예이다. [[뉴턴의 운동법칙#s-2|가속도의 법칙]]에 따르면 물체가 받는 힘에 비례해 속도(위치의 시간당 변화율)가 변화한다.[* <math>\mathbf{F} = m \mathbf{a}</math>, 가속도 <math>\mathbf{a}</math>는 속도의 변화율이므로 속도<math>\displaystyle {dx \over dt}</math>를 시간에 대해 미분한 <math>\displaystyle {d^2 x \over dt^2}</math>] 따라서 물체에 작용하는 힘의 법칙을 알면, 시간을 변수로 갖는 위치 함수 <math> x(t) </math>가 따르는 미분방정식을 세울 수 있다. 예를 들어서 스프링에 매달린 물체의 경우 힘은 위치에 비례하므로(<math>F = -kx</math>, 훅의 법칙), 다음과 같은 운동방정식 {{{+3 <math>\displaystyle m\frac{d^2 x}{dt^2} = -kx</math> }}}[* <math>x=f(t)</math>라고 하면 <math>mf''(t)=-kf(t)</math> 인 함수 <math>f(t)</math>가 있는가를 구하는 문제이다.][* 고등학생 수준에서 설명하자면, 좌변은 질량 곱하기 위치 미분 두번 이고 우변은 복원력이니 결국 ma=F 이다.] [* 그러니까 뉴턴 방정식에다가 훅의 법칙을 넣은거다.] 을 만족한다. 그런데 이 식은 <math> x'' = Cx</math> 형태이므로 (C는 임의의 상수) <math> x = Ce^{at}</math> 형태로 표시 할수 있고. 이걸 식에 대입하면 <math>\displaystyle a = \sqrt{-\frac{k}{m}} </math> 가 나온다. 그러므로 {{{+3 <math>\displaystyle f(t) = C_1e^ {i\sqrt{\frac{k}{m}}t} + C_2e^ {-i\sqrt{\frac{k}{m}}t}</math> }}}이 된다. 그런데. [[오일러의 공식|<math>e^{ikx}=\cos\left(kx\right)+i\sin\left(kx\right)</math>]] 이므로 {{{+1 <math>\displaystyle f(t) = A\cos\omega t + B\sin\omega t ,\left(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\right)</math> }}} 형태로 쓸수 있다. 그러므로 이상적인 스프링에 매달린 물체가 정현파(사인파) 진동을 한다는 것을 알 수 있다. 여기서 만약에 한걸음 더 나아가서 코사인 방정식을 사용하여 식을 정리한다면, 스프링을 어떻게 세팅해놓았냐에 따라서 변화하거나 유지되는 진폭을 볼 수 있으며 w를 이용해 스프링의 진동수 혹은 주기를 구해낼 수 있다. 이외에도 수많은 자연현상이 특정한 미분방정식을 따르고 있다. 예를 들어, 전하의 움직임이 전혀 없는 정전기적 상황에서 전위 V는 푸아송 방정식을 따른다. 보다 일반적인 상황인 전기역학을 기술하는 미분방정식은 전기장과 자기장에 관한 [[맥스웰 방정식]]이다. 한편 유체역학에서는 유체의 운동 방정식을 가장 일반적으로 정리한 것이 [[나비에-스톡스 방정식]]인데, 이는 7개의 [[밀레니엄 문제]] 중의 하나에 속해있는 난제이다. 비단 물리학 뿐만 아니라 화학에서는 화학반응의 속도를 계산하는 데에 쓰이고, 생물학에서는 먹이사슬에서 생물군집의 개체수 변화를 미분방정식으로 분석할 수 있다. <math>\displaystyle \left\{\begin{matrix} {dx \over dt} = x(\alpha - \beta y) \\ {dy \over dt} = - y (\gamma - \delta x) \end{matrix}\right.</math> [[생물학]] 전공자가 쓰는 미분방정식의 예. [[연립방정식|연립미분방정식]]의 형태다. 미분방정식은 자연과학/공학 뿐만이 아니라 다른 학문들에도 매우 광범위하게 등장한다. 사회학에서는 인구증감의 이론에서, 경제학에서는 [[선물]](2번 항목) 등의 파생상품의 가격을 계산하는 데에 등장한다. ~~문과라고 넘어가려면 큰일난다~~ 의외의 사실이지만, 고등학교 때도 미분방정식을 푸는 방법을 배운다! 흔히 부정적분이라고 불리는 개념인데, '주어진 함수 <math>f</math>에 대해, 어떤 함수 <math>F</math>를 미분하여야 <math>f</math>가 얻어지겠는가?'를 푸는 문제이므로, <math>F</math>에 관한 미분방정식 <math>\displaystyle \frac{ dF }{ dx } = f\left( x \right) </math> 으로도 볼 수 있다. === 풀이의 어려움 === 이처럼 미분방정식의 활용분야는 어마어마하기 때문에, 미분방정식을 풀 줄 알면 이 세상의 모든 변화를 설명할 수 있다고 해도 과언이 아니다. 물론 어느 누구도 그렇게 하지 못하는 이유는, 미분방정식을 푸는 것이 '''{{{+4 매우 어렵기 때문이다}}}.''' 미분방정식에서 함수를 수식으로 떨어지게 나타내는 대수적 해법을 찾는다는 것은, 특수한 경우를 제외하고는 거의 불가능하다. 당장 미분방정식의 가장 간단한 예가 부정적분인데, <math> e^{x^2} </math> 같은 함수의 적분도 초등함수로 나타낼 수 없다는 것이 증명된 정도이니. 근대까지 수학자들은 특수한 미분방정식들에 한해 여러 가지 [[Ad Hoc]] 해법을 연구하였고, 그 해법은 자신들의 이름으로 불리는 영광을 얻었다.[* 프로베니우스 방법, 스텀-리우빌 이론 등등. 여러분도 미분방정식의 해법을 하나 찾는다면, 수학사에 불멸의 이름을 남길 수 있다!] 현대에는 해의 성질을 분석하는 방법을 더욱 많이 쓰는데[* [[앙리 푸앵카레]]가 처음 내건 방법이라고 전해진다. 일례로 그의 재귀 정리(Poincare Recurrence)는 천체운동을 연구할 때 해가 주기적인지, 내지는 시간 변화에 따라서 비슷한 모습을 계속 지니기는 하는지에 초점을 맞춰 알아낸 명제이다.], 상미분방정식의 경우 풀이법을 아는 경우로 근사시키고 해의 개형을 분석하는 방법이 그런 대로 유효하다. 하지만 이렇게 해도 해들이 불규칙적인 행동을 보인다는 것이 발견되었는데, 이것을 분석하는 것이 [[카오스 이론]]. 근래 응용수학에서는 컴퓨터를 이용해 해를 수치적으로 계산하는 접근도 많이 발달되었다. 다만 편미분방정식의 어려움은 상미분방정식과 비교를 불허한다. 우선 해가 존재하는지 아닌지 판단하는 것부터가 난문이다. 그 다음에는 해의 정규성(regularity), 즉 조건이 변화할 때 해가 연속적으로 변화하는지를 따지는 것이 최종보스인 경우가 많다. 이를 쉽게 설명하자면, '''현실을 바탕으로 세운 미분방정식의 해가 현실적인지 아닌지 판별하는 것도 벅차다'''는 것... 간단해 보이는 ~~뭐요?~~ [[맥스웰 방정식]]이 전자기학 전공자들에게 왜 [[헬게이트]]로 비춰지는지 생각해 보자. === 현실에서 === 물리학과 학생이나 공대생들은 분야를 막론하고 지겹게 볼 것이다. 대학교 [[물리]]를 잘 하려면, 1학년 때는 [[적분]]을 잘 하면 되고 2학년 때부터는 미분방정식을 잘 풀면 된다고 까지 하니... 공업수학에도 당연히 해당된다. 아래 항목을 보면 이들이 배우는 내용의 일부분을 엿볼 수 있을 것이다. 수학과 학생들은 타는 테크에 따라 이를 깊게 파지 않는 경우도 많지만, 대학원 수준에서 해석학이나 이론물리학 쪽으로 나아간다면 엄청 깊게 파고들게 된다. 미분방정식은 [[과학고]], [[영재고]]에서는 고급수학2 때 보고, 과학고, 영재고가 아닌 학생은 대학교 때 배운다. 보통 미분방정식의 이론은 [[노가다|밥먹고 하는 일이 계산이라 불릴 정도로 끝도 없는 계산을 자랑하므로]], 주변에 이걸 하는 친구가 있으면 그 끈기에 경의를 표해주시라. [[인도 공화국|인도]]의 최고 명문대 [[IIT]]에서는 [[입시]]에 미분방정식이 들어간다. ~~[[http://pgr21.com/pb/pb.php?id=humor&no=64541|미분방정식 풀다 막히면 던파 문의 게시판에 물어보면 된다 카더라]]~~ == 상미분방정식(ODE)의 이론 == --'''여기 말고 [[공업수학]] 교과서를 보는게 좋다'''-- --번역본을 보는 게 정신건강에 이롭다-- 우선 이 절에 쓰이는 표기법을 정리하자. 미지의 함수 <math>y</math>는 <math>x</math>를 변수로 갖는다. 도함수는 <math> y'</math>, <math>y''</math> , ... 또는 <math>\displaystyle {dy \over dx}, {d^2 y \over d x^2} </math>, ... 등으로 나타내자. <math>C</math>, <math>C_{1}</math> 등은 임의의 상수.[* 단, 초기값 문제 등에선 값이 정해진다고 생각하자.] 편도함수는 편미분기호 <math> \partial </math>[* ~~[[델타]] 소문자의 변형이다. 보통 라운드 라고 읽는다. 라운드 와이 라운드 엑스 라든지..~~ 라고 알고 있는 사람들이 많지만 사실 d를 둥글게 변형한 것이어서 '라운드 디'라고 읽는 것이 맞다 하지만 빨리 발음하다보니 라운드엑스 라운드와이로 들릴 뿐이다. 원칙적으로는 라운드 디 엑스 라운드 디 와이 라고 읽어야 한다..] 를 사용하거나 ( <math>\displaystyle {\partial y \over \partial x} </math> 등등), 변수 아래첨자로 나타내자. <math>\int</math>는 적분기호. <math> \exp\left(x\right) = e^x </math> 로 약속한다. 일변수 함수 <math>f</math>, <math>g</math>의 적분은 암묵적으로 <math>F</math>, <math>G</math> 등의 대문자로 표기하자. [[복소수]]가 나올 때 <math>i</math>는 [[허수|허수단위]].[* 전자공학 등에서는 <math>i</math>가 전류의 기호로 쓰일 수 있어 헷갈리기때문에 허수단위 기호로 <math>j</math>를 사용한다. 예를들면 <math>f\left(t\right) = \exp\left(-j\omega t\right)</math> <math>i</math>가 <math>j</math>로 쓰이는 것 빼고 쓰임새는 같다. 이 글을 보는 위키러는 [[사원수]]/분할복소수(<math>j^{2}= 1</math>, <math>j\ne1</math>)를 쓰면 [[도대체 어쩌라고]]라는 물음이 생길 수 있는데, 각자 교수에게 물어보도록 하자. 적어도 <math>j</math>를 쓰는 과의 학부과정에서는 사원수, 분할복소수가 안 나온다. ] <math> d^{2} = d \circ d</math>, <math>\partial^{2} = \partial \circ \partial </math> 로 정의한다. 여기서 <math>\circ</math>는 뒤 함수의 결과값을 앞 함수의 입력값으로 받는다는 의미의 함수 합성 기호. === 일계 미분방정식 === 일계 미분방정식은 도함수 <math>y'</math>가 <math>y</math>와 <math>x</math>의 식으로 주어져 있는 형태이다. 일계 선형 미분방정식의 경우 함수의 초기값이 주어지면, 국소적으로[* 즉, 실직선 전체에서 방정식을 만족하는 해의 존재가 보장되는 것이 아니다.<math> y\left(0\right) = 0, y' = \left(1+y^2\right) </math>의 해인 <math> y = \tan\left(x\right) </math>는 구간<math> \left(-\pi/2, \pi/2\right)</math>에서만 정의된다.] 해가 항상 유일하게 존재한다는 사실이 알려져 있다. 일반적으로 <math>n</math>계 선형 상미분방정식은 <math>y\left(0\right), y'\left(0\right), ..., y^{n-1} \left(0\right) </math>의 <math>n</math>개 초기값이 모두 주어져야 이를 만족하는 해가 유일하게 존재한다. 간혹 <math>dy/dx</math>를 분수처럼 조작하여 <math>dx</math>나 <math>dy</math>라는 단독표현을 사용하는데, 이를 엄밀히 이해하려면 미분형식이라는 이론을 동원해야 한다. 수학 전공자가 아니면 '직관적으로 이해하거나' '형식적인 표기일 뿐이라 납득하고' 넘어가자. * 변수분리형: <math> dy/dx = f\left(x\right)/g\left(y\right) </math>꼴의 경우, <math>f\left(x\right) dx = g\left(y\right) dy </math>형태로 바꾼 다음 양변을 적분해 <math>F\left(x\right) = G\left(y\right) + C </math>꼴로 바꾼다. 안된다면 <math>u=y/x</math>로 놓고 <math>u</math>와 <math>x</math>에 대한 미분방정식으로 만든 뒤 해보면 된다. * 상수항이 포함된 선형: <math>y' + g\left(x\right)y = f\left(x\right) </math>꼴의 경우, 함수 <math>h\left(x\right) = e^{G\left(x\right)}</math>를 양변에 곱한다. (<math>G\left(x\right)</math>는 <math>g\left(x\right)</math>의 적분이다.) 그러면 <math>\left(h\left(x\right)y\right)' = h\left(x\right)y' + h'\left(x\right)y = h\left(x\right)\left(y' + g\left(x\right)y\right) = h\left(x\right)f\left(x\right) </math>가 되고, 양변을 적분해 푼다. * 완전형(Exact ODE): <math>N\left(x,y\right)</math> {{{+1 <math>\frac{dy}{dx} </math> }}} <math>+ M\left(x,y\right)=0 </math> 을 <math>N\left(x,y\right)dy + M\left(x,y\right)dx=0 </math> 꼴로 썼을 때, {{{+1 <math> \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}</math> }}} 이면 이를 완전형이라 한다. 이 때는 <math> \frac{\partial f}{\partial x}= M\left(x,y\right) </math>이고 <math> \frac{\partial f}{\partial y} = N\left(x,y\right) </math>를 인 <math>f</math>를 찾아낸다. (<math>M</math>을 <math>x</math>에 대해 적분하고, <math>y</math>에 대한 상수항을 더해주면 쉽다.) 그 다음에는 식을 <math> d\left(f\left(x,y\right)\right) = 0 </math> (전미분)로 써서, <math>f\left(x,y\right) = C</math>의 형태가 해라고 할 수 있다. * 적분인자법 : 식이 완전형이 아니어도(non-exact), 양변에 ''적절하게 어떤 식을'' 곱하면 항상 완전형으로 만들 수 있다. 이 어떤 식을 적분인자라고 하는데, 다음 두 경우에 i. <math>\left(M_y-N_x\right)/N </math>이 <math>x</math>에만 의존할 경우, {{{+2 <math> h\left(x,y\right) = e^{\int\left(\left(M_y - N_x\right)/N\right) dx} </math> }}} i. <math>\left(N_x - M_y\right)/M </math>이 <math>y</math>에만 의존할 경우, {{{+2 <math> h\left(x,y\right) = e^{\int\left(\left(N_x - M_y\right)/M\right) dy} </math> }}} 로 잡으면 <math>h</math>가 적분인자가 된다. 위 두 경우에 해당하지 않는다면, 적분인자를 구하는 것이 미분방정식을 푸는 것보다 어려운 경우이다.[* 정확히 말하자면 해당 상미분방정식을 푸는 것보다도 어려운 경우이다. 저 적분 인자를 구하기 위해서는 편미분 방정식을 풀어야 한다. 앞에서 말했듯이 편미분방정식은 상미분방정식 보다도 훨씬 어려운데 여기서 풀어야 하는 편미분방정식은 편미분 방정식들 중에서도 어려운 축에 속하는 편미분방정식이다. 배보다 배꼽이 훨씬 더 큰 셈.] 이걸 반대로 말하면, 아무 <math>f\left(x,y\right) = C</math> 를 x에 대해 미분해 버린 후 그걸 x,y가 다 들어가는 함수로 나눠/곱해 버리면 손으로 못 푸는 1계 상미분방정식 완성. === 상수계수 선형미분방정식 === 상수 <math>c_{i}</math> 들에 대해 <math>y^{\left(n\right)}+ c_{n-1} y^{\left(n-1\right)} + \cdots + c_1 y' + c_0 y= 0</math> 의 형태이다. 여기에 대응하는 다항식 <math>\chi\left(T\right) = T^n+ c_{n-1} T^{n-1} + \cdots + c_1 T + c_0</math> 을 특성다항식(characteristic polynomial)이라고 한다. 이 특성다항식이 <math>\chi\left(T\right) = \left(T - \alpha_1\right) ^{n_1} \left(T - \alpha_2\right) ^{n_2} \cdots \left(T - \alpha_k\right)^{n_k}</math> 로 복소수 범위내에서 인수분해된다고 하면, 각각의 근 <math>\alpha_i</math>에 대해 <math>\exp\left(\alpha_i x\right), x \exp\left(\alpha_i x\right), \cdots ,x^{n_i -1} \exp\left(\alpha_i x\right)</math> 의 <math>n_i</math> 개들의 함수가 해가 된다. 또한, 이 미분방정식의 모든 해는 이들을 모두 모은 <math>n</math> ( <math>= n_i</math> 들의 합)개의 해들의 일차결합으로 유일하게 나타나진다. 만약 근이 [[복소수]] <math>\alpha = r + is</math> 라면 [[오일러의 공식]]을 이용해 <math>\exp\left(\alpha x\right) = \exp\left(rx\right)\left(\cos\left(sx\right) + i \sin\left(sx\right)\right)</math> 로 처리하고, 일차결합에서 복소수 계수를 허용한다. 예를 들어 위에 소개했던 단진자의 운동방정식 <math>m y'' + k y =0</math> 의 특성다항식은 <math>mT^2 + k = 0</math> 이고, <math>w = \sqrt{k/m}</math>으로 정의하면 특성다항식은 허수해 <math>iw</math>,<math>-iw</math>를 갖는다. 따라서 모든 해는 <math>\exp\left(iwx\right) = \cos\left(wx\right) + i \sin\left(wx\right)</math>, <math>\exp\left(-iwx\right) = \cos\left(wx\right) - i \sin\left(wx\right)</math>, 의 일차결합, 즉 <math>\cos\left(wx\right)</math>와 <math>\sin\left(wx\right)</math>의 일차결합으로 나타나진다. 삼각함수의 합성을 써서 <math>C_1 \cos\left(wx\right) + C_2 \sin\left(wx\right) = C \sin\left(wx + \phi\right)</math> 로 멋들어지게 나타낼 수도 있다. 선형미분방정식에 상수항이 있는 경우, 즉 <math>y^{\left(n\right)}+ c_{n-1} y^{\left(n-1\right)} + \cdots + c_1 y' + c_0 y= f\left(x\right)</math> 꼴의 경우, 이러한 방정식의 해는 (특수해)+(일반해) 꼴로 나타나진다. 여기서 (특수해)란 위 방정식을 만족시키는 특정 해 아무거나, (일반해)란 상수항이 없는 경우, 즉 <math>y^{\left(n\right)}+ c_{n-1} y^{\left(n-1\right)} + \cdots + c_1 y' + c_0 y= 0</math>의 해. === 멱급수법 === 미분방정식의 해 <math>y</math>가 멱급수 <math> a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... </math>꼴로 나타낸다고 가정하고, 미분방정식에 대입한 다음에 계수비교법을 적용해, <math>a_{i}</math> 를 계산하는 방법이다. 계수를 계산하기 쉬운 선형미분방정식에 많이 쓰인다. 여기서 한단계 더 나아가서 프로베니우스 방법(Frobenius method)과 같은 것은 [[베셀 함수]](Bessel function)를 구하는 과정의 필수요소라 할 수 있다.[* 프로베니우스 방법에 대한 자세한 설명은 [[http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_method|프로베니우스 방법, 영어주의]], [[http://ghebook.blogspot.kr/2011/11/solution-of-ode-based-on-power-series.html|참고링크1]], [[http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/application-of-frobenius-method.html?utm_source=feedburner&utm_medium=feed&utm_campaign=Feed:+blogspot/LjfQi+(%EC%A1%B0%EA%B8%88%EC%9D%80+%EB%8A%90%EB%A6%AC%EA%B2%8C+%EC%82%B4%EC%9E%90.)|참고링크2]] 등등 참조.] === [[라플라스 변환]], [[푸리에 해석#s-3|푸리에 변환]] 등의 적분변환 === 적분변환은 선형 미분연산자를 변환된 공간에서 단순한 계수로 바꿔버리는 강력한 도구이다. 하지만 세상에 공짜는 없는 것이, 어떤 함수의 적분변환이 존재하는 조건이 항상 존재하기 마련이다. 또한 두 함수의 곱을 적분변환하면 상당히 지저분한 꼴이 되며, 마찬가지로 두 적분변환의 곱을 역변환할 시 지저분한 꼴로 표현된다. 이러한 합성함수의 적분변환에 대한 규칙을 보통 Convolution이라 표현한다. 라플라스 변환은 다음과 같은 성질이 있다 ><math>L\left\{f'\left(t\right)\right\} = sF\left(s\right)-f\left(0\right)</math> (<math>L\left\{f\left(x\right)\right\}</math>는 <math>f\left(x\right)</math>의 라플라스 변환, <math>F\left(s\right)</math>는 그 결과 나온 함수) [br] <math>L\left\{f''\left(t\right)\right\} = s^2 F\left(s\right)-sf\left(0\right)-f'\left(0\right)</math> 증명 {{| i. 좌변 = <math>\int_{0}^{\infty}e^{-st}f'\left(t\right)dt = \left[e^{-st}f\left(t\right)\right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty}se^{-st}f\left(t\right)dt = sF\left(s\right) - f\left(0\right)</math> (부분적분) i. <math>L\left\{f''\left(t\right)\right\} = sL\left\{f'\left(t\right)\right\} - f'\left(0\right) = s\left(sF\left(s\right)-f\left(0\right)\right)-f'\left(0\right) = s^2F\left(s\right)-sf\left(0\right)-f'\left(0\right)</math>|}} 이 정리를 이용하면 미분방정식이 대수방정식으로 바뀐다! 예를 들어 위에 소개된 스프링 방정식의 경우를 들어 설명한다 <math>y''-ky=0</math>의 양변을 라플라스 변환하면 <math>s^2 Y\left(s\right) - kY\left(s\right) = sf\left(0\right)+f'\left(0\right)</math> <math>Y\left(s\right) = \left(sf\left(0\right)+f'\left(0\right)\right)/\left(s^2 - k\right)</math> 이제 <math>Y\left(s\right)</math>의 라플라스 역변환을 구하면 해가 나온다. 이 방법의 단점은 <math>f</math>의 라플라스 변환이 존재하지 않을 경우 무용지물이 된다는 것이다. 그런데 합성곱/부분분수로 나누면 어지간한 경우가 아니면 다 변환된다. 라플라스 변환이 존재하기 위한 엄밀한 조건은 다음과 같다. ><math>f</math>가 (piecewise) 연속이고, exponentially bounded되어있을 때. 즉, <math>\left|f\left(t\right)\right| \leq Me^{ct}, \forall t</math>를 만족하게 하는 <math>c, M</math>가 존재할 때 위 두 조건을 만족하면 <math>s>c</math>일 때 라플라스 변환의 존재가 보장된다. === 비선형 미분방정식 === 비선형 미분방정식은 1계 미분방정식만 풀이방법이 정립되어 있고, 2계 이상부터는 특수한 경우가 아니면 해가 알려져 있지 않다. 예를 들어 다음과 같은 진자의 방정식은 모양은 간단하지만 비선형 미분방정식이다. {{{+3 <math>\displaystyle \frac{d^2 \theta}{dt^2} + \frac{g}{\ell} \sin\theta = 0</math> }}} [* <math>f''\left ( x \right )+\frac{g}{\ell}\sin\left ( f\left ( x \right ) \right )=0</math>을 만족하는 함수 <math>f\left ( x \right )</math>를 구하라는 문제이다.] (<math>g</math>는 중력가속도, <math>\ell</math>은 진자의 길이) 이 식은 연구가 상당히 많이 진척되어 있어 <math>\theta</math>의 해집합이 정확하게 알려져 있다. 자세한 내용은 [[단진자]]항목을 참고할 것. [* 우리가 중/고등학교에서 배우는 진자는 위 방정식의 정확한 해가 아니라 근사해이다. 정확한 해는 타원적분으로 표현되기 때문에 초등함수로 나타낼 수 없다. 그래서 대학교 물리에서는 <math>\theta</math>를 0에 근사시켰을 경우라고 전제를 주고 있다. 이 경우는 최저점을 벗어난 진자가 중력과 실의 장력에 의해서 약간 속도가 느려지면서 쳐지는 것도 직선이라고 근사시킬 수 있기 때문에 원운동의 일부로 취급할 수 있어져서 계산이 편해지기 때문이다. 단진자의 주기 공식은 <math>\theta</math>를 0에 근사시켰을 경우에 유도되는 공식이다.] 하지만, '''이런 경우는 극히 드물다'''고 보면 된다. == 편미분방정식(PDE)의 이론 == ~~ODE는 잡몹 던전이고 PDE는 진짜 보스 던전~~ 표기와 주의사항은 위와 비슷. 단 미지함수는 <math>u</math>, 변수는 <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>, <math>t</math>, ...로 쓰자. 최악의 문제 유형은 '''연립방정식+편미분방정식+고차방정식'''인 경우....이경우는 말그대로 충공깽 === 미분작용소 === 기초 ODE에서는 그냥 넘어갔던 미분작용소(differential operator)의 개념이 PDE에서는 매우 중요해진다. 미분작용소의 정의는 미지함수와 편도함수로 이루어진 식이고, 이 식이 편도함수의 선형결합[* 1차 [[연립방정식]]을 일컫는다. 다른 데 같으면 지옥으로 여겨지는 연립방정식이 여기서는 천국이다(...)]일 경우 미분작용소를 선형이라고 한다. 모든 PDE는 미분작용소 <math>D</math>에 대해 <math>Lu = 0</math> 의 꼴로 쓸 수 있고, 유명한 것으로 라플라스 작용소 {{{+1 <math>\displaystyle \Delta \mathbf{u} = \nabla^{2} \mathbf{u} = \nabla \cdot \nabla \mathbf{u} = {\sum_{m = 1}^{n}} u_{m} {\partial^{2} \over \partial {x_{m}}^{2}} </math>}}} 등이 있다. 이 미분작용소가 선형일 경우가 아주 중요한데, 미분작용소를 [[선형대수학]]에서 나오는 선형사상으로 간주할 수 있기 때문이다.[* 물론 ODE에서도 이 사고방식은 유효하다. 다만 기초수준에서 배우지 않는 것 뿐.] 다만 선형 PDE의 해집합은 대부분의 경우 무한 차원 벡터공간이 되므로, 무한차원 벡터공간을 연구하는 함수해석학의 이론이 필요하다. === 존재성과 정규성 === 상미분방정식의 경우 국소적 해는 항상 존재했지만, 편미분방정식의 경우는 다르다. 국소적 해마저 존재하지 않는 PDE가 있다는 것을 증명할 수 있을 정도. 코시-코발레프스키 정리(Cauchy-Kowalevski theorem)를 이용하면 일계상미방과 비슷한 조건 하에서 존재성이 증명되는 경우도 있지만, 일관적 접근은 힘들다. 정규성의 경우 보통 함수의 <math>L^p</math> 크기( 간단히 말하면 <math>\left|u\right|^p</math>의 적분값) 등 여러 가지 노름(norm)을 제한시키는 방식으로 증명한다. 여기서 수없이 많은 적분부등식이 등장하는 것은 덤.[* 보통은 정의역이 유계(bounded)인 경우를 주로 생각한다. 이 경우에는 <math>L^p</math> 공간들 사이에 포함 관계가 성립한다.] 다만 선형인 경우, 위 두 가지는 어느 정도 보장이 된다. === 대수적 풀이법 === 편미분방정식에서 먹히는 대수적 풀이법은 그렇게 많지 않다. 유명한 것은 미지함수 <math>u\left(x,y,z\right)</math>를 <math>p\left(x\right)q\left(y\right)r\left(z\right)</math>꼴의 한 변수에만 의존하는 함수들의 곱으로 두는 변수분리법. 방정식이 선형이라면 이렇게 구한 미지함수들의 무한합으로 모든 해를 구할 수 있는 경우도 있다. 대표적인 예로 일차원 열 방정식(heat equation, 열의 확산에서 나옴) <math>u_t = u_{xx}</math> 을 제한된 <math>x</math>-구간 <math>0 \le x \le 1</math>에서 푸는 경우, 변수분리법을 구해 얻은 해 <math>\exp\left(-n^2 t\right) \sin\left(nt\right), \exp\left(-n^2 t\right) \cos\left(nt\right)</math>들의 선형결합이 모든 해가 된다. 특성곡선(characteristic curve)법은 일계 유사선형 편미방 <math>au_x + bu_y = c</math> 등에서 써먹을 수 있는데(<math>a,b,c</math>는 <math>u,x,y</math>에 대한 함수), <math>dF\left(u,x,y\right) = 0</math>이 되는 <math>F</math>를 어떻게든 찾아주면 된다. === 선형편미분방정식의 기본해(fundamental solution) === PDE에서도 적분변환, 특히 푸리에 변환은 매우 큰 위력을 발휘한다. 다만 푸리에 변환은 빠르게 감소하는 함수가 아니면 적용하기 힘든 난점이 있다. 함수공간의 범위를 더욱 넓힌 분포함수(distribution)는[* 간단히 말하면 함수공간의 쌍대공간으로 정의한다. 보통 함수 <math>f</math>는 <math>g \longmapsto \int f g</math> 의 함수, 디랙델타는 <math>g \longmapsto g\left(0\right)</math> 의 함수 이런 식. 통계학에서 등장하는 확률분포와는 직접적인 관련은 없다.] [[폴 디랙#s-1.1.2|디랙 델타함수]] 같은 대상을 모조리 포함해 버리는 아주 큰 공간이고, 여기서 푸리에 변환을 생각하면 임의의 함수의 푸리에 변환을 생각할 수 있다. 작용소의 계수가 상수일 경우에는, 마치 라플라스 변환을 풀듯이, 푸리에 변환의 위력은 여전히 미분방정식을 산술방정식으로(!) 바꾸어 버릴 수 있다. 이 산술방정식을 풀고 역변환하면, 기본해(fundamental solution)라 불리는 <math>LF = \delta\left(x\right)</math> 을 만족하는 분포 <math>F</math>를 찾을 수 있는데, (<math>\delta</math>는 디랙델타) 그러면 <math>Lu = g</math>의 해를 단순히 <math>u = g \ast F</math> (컨볼루션)로 쓸 수 있다. ~~아 얼마나 쉬운가!~~ 물론 어려운 것은 이렇게 구한 해가 과연 (분포함수가 아닌) 진짜 함수인가 하는 것이다. 그리고 계수가 상수일 때만 적용되는 기법이긴 하다. 일반적인 선형에서는 당연히 불가능한 내용.[* 선형 pde에서 distribution sense 로 해가 없는 예는 Hans Lewy가 1957년에 구했다. [[http://www.jstor.org/stable/1970121]]] 그나마도 비선형의 경우는... [[도움상회|어휴...]]소리만 나온다. 대표적인 비선형 편미방인 [[나비에-스톡스 방정식]]은 '''[[밀레니엄 문제|아직까지도 일반해가 안 나오고 있다]].''' === 타원형 편미분방정식(Eliptic PDE) 스펙트럼 이론(spectral theory) === [[선형대수학]]을 공부한 위키러라면 임의의 허미션행렬(Hermitian matrix)은 실수 고유값을 갖고, 고유벡터들이 정규직교기저가 된다는 스펙트럼 정리(spectral theorem)를 알고 있을 것이다. 선형 미분작용소 중 계수들이 특정 성질을 만족하는 elliptic operator들은 대칭행렬과 비슷하게 볼 수 있고, 스펙트럼 이론을 거의 그대로 적용시킬 수 있다. 어찌 보면 푸리에 해석도 이의 한 예. == 관련 문서 == * [[미분]] * [[적분]] * [[방정식]] * [[라플라스 변환]]: 위의 방법으로는 못할 것들을 이걸 써서 풀 수 있다. 이걸로도 안 되면...--[[망했어요]]-- * [[푸리에 해석#s-3|푸리에 변환]] * [[나비에-스톡스 방정식]] * [[양자역학]] * [[슈뢰딩거 방정식]] * [[수치해석]] * [[클라인-고든 방정식]] [[분류:해석학]][[분류:방정식]] 미분방정식 문서로 돌아갑니다.