부동점 정리 문서 원본 보기

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== 개요 ==
정의역과 공역이 공간 <math>X</math>인 함수 <math>f:X\to X</math>에 대하여 <math>x_0\in X</math>가 <math>f(x_0) = x_0</math>를 만족할때 이 점 <math>x_0</math>를 함수 <math>f</math>의 '''부동점''' 또는 '''고정점'''(fixed point)이라고 한다.

'''부동점 정리'''[* '''고정점 정리''' 또는 '''정점 정리'''라고 번역되는 경우도 있다.]는 공간 <math>X</math>와 함수 <math>f</math>에 __적당한 조건__이 주어지면 <math>X</math>내에 <math>f</math>의 부동점이 존재한다는 것을 내용으로 한다.  그 __적당한 조건__이 구체적으로 어떤 조건인가에 따라 많은 부동점 정리가 있다. 그중에 [[해석학]]에서 배우는 바나흐의 부동점 정리와 [[위상수학]]에서 배우는 브라우어의 부동점 정리가 잘 알려져 있다.

부동점 정리는 많이 응용되는 도구이다.  대표적으로 립쉬츠 조건을 만족하는 [[미분방정식]]의 해가 존재한다는 정리를 증명할때 부동점 정리가 사용된다.  또한 다변수해석학에서 [[역함수 정리]]를 증명할때 사용하기도 한다.  부동점 정리는 수학 이외의 학문에서도 응용되는 경우가 많다.  예를 들자면 경제학에서 완전경쟁교환경제에 일반균형이 존재함을 증명하는데에 이용된다. 그리고, 영화 뷰티풀 마인드로 유명한 존 내쉬가 게임이론에서 내쉬균형의 존재를 증명할 때도 부동점 정리가 이용됐다.

== 바나흐 부동점 정리 ==
바나흐 부동점 정리의 내용은 다음과 같다.
>공집합이 아닌 완비거리공간 <math>(X,d)</math>에서 정의된 함수 <math>f:X\to X</math>가 축소사상이면 <math>f</math>는 유일한 부동점 <math>x^*\in X</math>를 갖는다.  (즉, <math>f(x^*)=x^*</math>이다.)
여기서 함수 <math>f</math>가 '''축소사상'''이라는 것은 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여 상수 <math>0\leq\alpha<1</math>가 있어서 <math>d(f(x),f(y)) \leq \alpha d(x,y)</math>가 항상 성립하는 사상이라는 것을 말한다.

증명은 완비거리공간임을 이용해서 <math>X</math>안의 임의의 점 <math>x_0</math>로부터 출발하여 <math>x_1 = f(x_0)</math>, <math>x_2 = f(x_1)</math> ...의 방식으로 구성한 수열 <math>(x_n)</math>이 코시수열임을 보임으로써 존재성과 유일성을 한꺼번에 보인다.  자세한 것은 해석학 교과서를 참조하면 된다.[* 증명이 쉬워서 연습문제로 나오는 교과서도 있다.간단히 풀어보려면 Munkres, ''Topology'', 2판, ch3. sec.28의 exercise 7 참조]

== 브라우어 부동점 정리 ==

브라우어 부동점 정리의 내용은 다음과 같다.
> <math>K\subset \mathbb{R}^n</math>를 <math>n</math>차원 유클리드 공간의 [[볼록]] [[컴팩트성|컴팩트]] 부분집합이라고 하자.  함수 <math>f:K\to K</math>가 연속이면 <math>f</math>는 <math>K</math>에서 부동점을 갖는다.
여기서 볼록 컴팩트 부분집합은 단위구 <math>D^n = \{ \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n : \Vert \mathbf{x}\Vert \leq 1\}</math>로 바꾸어도 무방하다.   위의 바나흐 부동점 정리와는 달리 유일성은 브라우어 부동점 정리의 내용이 아니다.

증명은 귀류법을 사용하는 방법이 여러 위상수학 교과서에 소개되어 있다.[* Munkres, ''Topology'', 2판, p. 351 또는 Kahn, ''Topology'', pp. 139-140]  그 외에도 [[http://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fixed_point_theorem#Proof_outlines|여러가지 다른 증명 방법]]도 있다.

[[분류: 해석학]][[분류:위상수학]]