부등식 문서 원본 보기

 * 상위 항목: [[수학 관련 정보]], [[대수학]]

[목차]

Inequality

~~방정식 아니다~~
== 개요 ==
[[방정식]]이 <math>a=b</math>와 같이 어떤 두 정식의 같음을 비교하는 것이라면, 부등식은 같지 않음을 비교하는 것. 다만 <math>a\neq b</math>라고만 표현하면 어느 쪽이 더 큰지 작은지 비교를 할 수 없기 때문에 <math><,>,\leq,\geq</math>와 같은 기호를 동원한다. 이를 [[부등호]]라고 하며 각 기호의 뜻은 차례대로 "작다 (미만)", "크다 (초과)", "작거나 같다 (이하)", "크거나 같다 (이상)"이다. 간혹 <math><<</math>나 <math>>></math>를 쓰기도 하는데, 이는 각각 "아주 작다", "아주 크다"를 의미한다. ~~[[넘사벽]]~~ 다만 이 크기 비교는 [[자연수]]나 [[실수]]같이 크기가 정렬된 집합 (ordered set)에서만 성립한다. 고등학교 때 [[복소수]]의 부등식은 없다고 배울 텐데, 그 이유가 바로 복소수 집합은 크기가 정렬되어 있지 않기 때문.[* <math>1+i</math>와 <math>2+i</math>의 차를 계산하면 <math>\left(2+i\right)-\left(1+i\right)=1>0</math>이므로 <math>1+i<2+i</math>가 아니냐고 생각할 수 있는데, 전혀 의미없는 주장이다.][* 하지만 복소수의 크기는 크기를 비교할 수 있다. 크기가 실수 값이므로...]

[[방정식]]과 마찬가지로, 부등식은 그 자체로는 [[명제]]가 될 수 없다. 조건에 따라 참, 거짓이 달라지기 때문. 하지만 [[방정식]]에 [[항등식]]이 있듯이, 부등식에도 항상 성립하는 부등식인 [[절대부등식]]이 존재한다.

한국의 교육과정에선 [[방정식]]을 배운 뒤 세트로 같이 배우게 된다. 방정식을 푸는 데 익숙한 학생들은 "뭐야? 똑같네?"라고 생각하게 되지만 뒤로 갈수록 방정식에서 쓰이는 기술과는 다른 기술이 쓰여 차이점이 벌어지게 된다. ~~부호 착각해서 틀리면 꽤 눈물 난다 ~~ 사실 수학 경시대회를 봐도 방정식을 푸는 유형은 '''쉬운''' 문제에 속하고, 부등식을 증명하는 문제는 '''어려운''' 문제에 속한다. ~~하지만 사기 기술 [[미적분]]이 등장하면 어떨까?~~ ~~[[드라군 놀이|미!적!분!]]~~ 또한 한국 교육과정에선 부등식을 직관적으로만 설명하는데, 부등식 <math>a<b</math>의 '''정의'''는 <math>b-a>0</math>이다. 다른 것이 하나도 없어보이지만 의외로 중요하다. 

의외로 [[유치원]]에서도 배우는 과정으로, 부등호를 [[악어]]로 묘사해서 가르치는 것이 일반적이다.

여담이지만 부등식 항목은 방정식과는 다른 많은 성질들이 있는데도 아주 오랫동안 [[방정식]]문서의 한 문단으로만 서술 되어있었다. ~~안습~~

== 성질 ==
앞으로 나오는 모든 문자는 특별한 말이 없는한 모두 임의의 [[실수]]이다. 또한 특별한 말이 없는한 다른 부등호 기호에도 모두 성립하는 성질이다.

 1. 추이율: <math>a\leq b, b\leq c</math>이면 <math>a\leq c</math>가 성립한다. 단, 여기서 어느 하나라도 강부등호[* Strict Inequality. 등호가 들어가지 않은 <math><</math>나 <math>></math>를 뜻한다. 더 좋은 명칭 있으면 수정바람.]가 들어가면 결과에도 강부등호가 쓰인다.[* 예시로, <math>a<b, b\leq c</math>이면 <math>a<c</math>] 추이율은 모든 부등호 기호에 대해 성립하나, 반사율과 대칭율은 부등호 기호에 따라서 성립하기도 하고 성립하지 않기도 한다. 반사율은 <math>\leq,\geq</math>의 경우만, 대칭율은 등호가 성립할 때만 성립한다. 따라서 부등호는 [[동치관계]]가 아니다.[br]
 1. [[덧셈]], 뺄셈: <math>a\leq b</math>일 때, <math>a+c\leq b+c, a-c\leq b-c</math>이다.[br]
 1. [[곱셈]], 나눗셈: <math>a\leq b</math>이고 <math>c>0</math>이면 <math>\displaystyle ac\leq bc,\,\frac{a}{c}\leq\frac{b}{c}</math>가, 만약 <math>c<0</math>이면 <math>\displaystyle ac\geq bc,\,\frac{a}{c}\geq\frac{b}{c}</math>가 성립한다. 특히, <math>a\leq b</math>이면 <math>-a\geq -b</math>가 성립한다. 알아놔야 할 점은 양변에 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다는 것이다.[br]
 1. [[역수]]: <math>0<a\leq b</math>이면, <math>\displaystyle 0<\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}</math>가, <math>a\leq b<0</math>이면 <math>\displaystyle \frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}<0</math>이, 그리고 <math>a<0<b</math>이면 <math>\displaystyle \frac{1}{a}<0<\frac{1}{b}</math>가 성립한다.[br]
 1. 보존성: 증가, 감소 [[함수]]를 합성해도 부등호의 방향은 유지된다. 증가함수를 예로 들어보자. 함수 <math>f</math>가 단조 증가 함수라 가정하고,[* <math>x_1<x_2</math>이면 <math>f\left(x_1\right)\leq f\left(x_2\right)</math>인 함수] <math>a\leq b</math>라 하자. 그럼 <math>f\left(a\right)\leq f\left(b\right)</math>가 그대로 성립한다. <math>a<b</math>여도 그대로 성립한다. 만약 함수 <math>f</math>가 강증가 함수이고,[* <math>x_1<x_2</math>이면 <math>f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)</math>인 함수] <math>a\leq b</math>이면 <math>f\left(a\right)\leq f\left(b\right)</math>, <math>a<b</math>이면 <math>f\left(a\right)<f\left(b\right)</math>가 성립한다. <math>f</math>가 감소함수이면 부등호 방향이 전부 반대. 참고로 이를 이용해서 일부 부등식을 쉽게 증명할 수 있다. 부등식에 지수가 많으면 [[로거리듬]]을 이용, 그후 [[미분]]을 사용하는 식으로.[br]
 1. <math>a<b</math>라 하자. 그럼 이는 적당한 [[실수]] <math>r>0</math>이 존재하여 <math>a+r=b</math>를 만족함과 동치이다. 만약 <math>a\leq b</math>이면 적당한 실수 <math>r\geq0</math>이 존재하여 <math>a+r=b</math>를 만족함과 동치. 이를 사용하여 부등식을 [[방정식]] 문제로 바꿀 수 있다.

1번 부터 5번까지의 기본 성질은 모두 [[실수]]의 기본 성질과 6번 성질, 그리고 정의를 사용하여 증명이 가능하다. [[증명]]이 어렵지 않으므로 관심있는 위키러는 직접 해보자.

== 부등식의 해법 ==
풀이는 대체로 [[방정식]]과 비슷한 느낌으로 하면 된다. 부등호의 방향에만 신경쓰면 된다. 부등호의 방향을 실수하는 경우가 많다. ~~다 풀어놓고 틀리면 아쉽지 않은가?~~부등식의 성질과 마찬가지로 아래 부등식의 모든 예는 특별한 말이 없는한 모든 부등호에 대해 성립한다.

=== 일변수 부등식 ===
중학교, 고등학교에서 주로 풀게 되는 부등식. 식으로는 <math>f\left(x\right)\geq 0</math>의 형태의 부등식을 말한다. 

==== 일차 부등식 ====
<math>ax+b\geq 0</math>과 같은 형태의 부등식이다. 일차부등식이므로 <math>a\neq 0</math>이다.

<math>b</math>를 넘겨준뒤 <math>a</math>를 양변에 나눠주면 된다. 이 때 <math>a</math>가 양수냐 음수냐에 따라 부등호의 방향이 바뀌므로 주의. <math>a</math>가 양수이면 나누어도 부등호가 그대로이지만 음수라면 부등호의 방향이 바뀌게 된다.
 
일차 부등식은 아니지만 위 부등식에서 <math>a=0</math>인 경우
 1. <math>b\geq 0</math>: <math>x</math>값에 관계없이 항상 성립하므로 [[절대부등식]]이 된다.
 1. <math>b<0</math>: <math>x</math>값에 관계없이 항상 성립하지 않는다.
==== 이차 부등식 ====
<math>ax^2+bx+c<0</math> 혹은 <math>ax^2+bx+c\leq0</math> 형태의 부등식. 여기서 부터 방정식과 풀이법이 조금씩 달라지기 시작한다. 풀이는 아래와 같다.
 1. 먼저 <math>x^2</math>의 계수를 양수로 바꿔준다.
 1. <math>ax^2+bx+c=0</math>의 근을 구한다. 근을 <math>\alpha, \beta</math>라 하자. (단 <math>\alpha\leq\beta</math>)
 1. 만약 부등호가 <math>>0</math>이면, <math>x<\alpha, x>\beta</math>가 답. 부등호가 <math>\geq</math>이면 답에도 등호가 들어간다. 단, <math>\alpha=\beta</math>일 경우 전자는 <math>x=\alpha</math>를 제외한 모든 값, 후자는 모든 <math>x</math>값이 답이다.
 1. 부등호가 <math><0</math>이면 <math>\alpha<x<\beta</math>가 답. 부등호가 <math>\leq</math>이면 답에도 등호가 들어간다. 단, <math>\alpha=\beta</math>일 경우 전자는 답이 없음, 후자는 <math>x=\alpha</math>만 답.

사실 이렇게 복잡한 과정을 거치지 않고 그래프를 활용하여 해결할 수 있다. 이는 바로 아래 문단 참조.

==== 고차 부등식 ====
삼차 이상의 부등식. [[방정식]]은 근의 공식이 4차 까지 존재하기 때문에 위 이차 부등식의 풀이와 비슷하게 해법 [[알고리즘]]을 짤 수 있지만 그러기엔 너무 비효율적이다. 여기서 부터는 함수의 그래프를 적극 활용하게 된다. 풀이 방법은 아래와 같다.
 1. 부등식을 방정식으로 바꿔준 뒤 근을 전부 구한다.
 1. [[수직선]]에 근을 찍고 그래프의 개형을 그려준다.
 1. 부등호가 <math><</math>나 <math>\leq</math>였다면 수직선 아랫부분에 해당하는 <math>x</math>값이 답.
 1. 부등호가 <math>></math>나 <math>\geq</math>였다면 수직선 윗부분에 해당하는 <math>x</math>값이 답. ~~[[참 쉽죠?]]~~

[[파일:8eEIitH.jpg]]
<math>\left(x+6\right)\left(x-1\right)\left(x-4\right)<0</math>을 예로 들면, 위 그래프에서 <math>x</math>축 아래에 해당하는 부분, 즉 <math>x<-6, 1<x<4</math>가 답이 된다.

사실 이 그래프를 이용하는 방법은 거의 모든 부등식에 사용이 가능하다. 다만 다변수 부등식의 경우는 그래프를 그리려면 고차원으로 확장해야 하기 때문에...

==== 여러가지 부등식 ====
 1. 연립 부등식: 부등식이 여러개 연결되어 있는 형태. 간단하게는 <math>a<b<c</math>도 <math>a<b</math>와 <math>b<c</math>의 연립 부등식이라 볼 수 있다. 풀이는 각 부등식을 따로 풀어준 뒤, 교집합에 해당하는 부분만 골라내면 된다.[br]
 1. [[절댓값]]이 들어간 부등식[* 당연하지만 [[절대부등식]]과는 다르다.]: <math>\left|x\right|<a,\,\left(a>0\right)</math>는 <math>-a<x<a</math>, <math>\left|x\right|>a</math>는 <math>x<-a, x>a</math>와 동치임을 이용하여 절댓값을 벗겨준 뒤 부등식을 풀어주면 된다. 다만 이는 절댓값을 간단히 풀어줄 수 있을 때의 얘기고, 그렇지 않을 경우에는 그래프를 그려서 해결하자.[br]
 1. 분수 부등식: <math>\displaystyle \frac{1}{x+1}\leq\frac{1}{x^2+1}</math>과 같이 변수가 [[분모]]에도 있는 부등식을 말한다. 이를 풀 때는 부등식의 양변에 양수를 곱해도 부등호의 방향이 바뀌지 않는다는 성질을 이용한다. 다만 <math>x+1</math>같은 경우는 양수인지 음수인지 확실히 알 수 없으므로 제곱을 해서 곱한다.[* <math>x</math>가 [[복소수]] 범위인 경우는 예외] 즉, 위 부등식의 경우에는 <math>\left(x+1\right)^2\left(x^2+1\right)</math>을 곱한 뒤 풀어준다. 주의할 점은, 분모를 <math>0</math>으로 만드는 <math>x</math>값을 체크해서 꼭 '''제외'''해 주어야 한다.[br]
 1. 무리 부등식[* 한국 고등학교 수학 정규과정에서는 배우지 않는다.]: <math>\sqrt{x+1}\leq\sqrt{x^2+1}</math>과 같이 근호 안에 변수가 들어가 있는 부등식. 양변을 제곱하여 근호를 벗겨준 뒤 풀어주면 된다. 단, 근호 안을 음수로 만드는 <math>x</math>값은 반드시 '''제외'''해 주어야 한다.[br]
 1. 함수 부등식: 부등식에 [[지수]], [[로거리듬]], [[삼각함수]]와 같은 것이 섞여있는 경우를 말한다. 보통 <math>f\left(x\right)<g\left(x\right)</math>의 형태로 나타난다. 푸는 방법은 바로 함수의 그래프를 이용하는 방법. 좌표계에 <math>f\left(x\right)</math>와 <math>g\left(x\right)</math>의 그래프를 각각 그려준 뒤, <math>f</math>가 <math>g</math>보다 아래 쪽에 있는 부분의 <math>x</math>값만 취해주면 된다. 혹은 <math>f\left(x\right)-g\left(x\right)</math>의 그래프를 그린 뒤 <math>x</math>축 아래에 있는 부분을 취해도 된다. 양변 다 지수함수거나 로그함수일 경우는 부등식의 보존성을 활용할 수도 있다. 예를 들어 <math>2^x<2^{3x+1}</math>을 푼다고 하자. 그럼 <math>2^x</math>는 강증가 함수이므로 간단하게 <math>x<3x+1</math>만 풀어줘도 된다.[br]
 1. '''미분부등식, 적분부등식''' : [[미분방정식]]과 적분방정식의 부등식 버전. 위와는 차원이 다른 난이도를 맛볼 수 있다.
> {{{+2 <math>\displaystyle u'\left(t\right)\le \beta\left(t\right)u\left(t\right)\phantom{\cdots}\left(t\in I^{\circ}\right)</math> }}}
> {{{+2 <math>\displaystyle u\left(t\right)\le u\left(a\right)\exp\left(\int_{a}^{t}\beta\left(s\right) ds\right)</math> }}}
 대표적인 미적분 부등식인 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6nwall%27s_inequality|그뢴발 부등식]]. [[이때는 대략 정신이 멍해진다|이쯤에서 대략 정신이 멍해진다.]](...)
=== 다변수 부등식 ===
변수가 <math>x</math>하나만 있는게 아닌 <math>y,z</math>등 2개 이상이 있는 부등식. 여기서 부터는 함수의 그래프가 필수다. 또한 답도 1차원적으로 간단히 나오는게 아니라 특정 영역의 형태로 나타나게 된다. 예로 <math>x^2+y^2<1</math>의 경우는 원 안의 영역에 해당하는 모든 <math>x,y</math>값이 답이 된다. 답을 제출할 때에는 그래프를 그린 뒤 영역을 색칠(...)하면 된다. 한국의 수학 교육과정에서는 보통 [[이차곡선]][* 원, 타원, 포물선, 쌍곡선]을 배울 때 자주 하게 된다.
당연하지만 다변수를 다루는 편미분부등식이나 [[중적분]]부등식은 [[게슈탈트 붕괴]]를 맛볼 수 있다(...).

{{{+2 <math>\displaystyle \left \| u \right \|_{L^{p}(\Omega)} \leq C \left \| \nabla u \right \|_{L^{p}(\Omega)}</math>}}}
대표적인 편미분부등식인 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r%E2%80%93Rao_bound#Multivariate_case|크라메르-라오 부등식]]과 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_inequality|푸앵카레 부등식]]. 이건 뭐...
=== 부등식의 영역 ===
위에 잔뜩 부등식의 풀이법을 적어 놨지만, 사실 그 모든 것은 이 부등식의 영역 하나로 해결할 수 있다. ~~[[최종보스]]~~ 한국의 교육과정에는 1차원 부등식의 영역과 2차원 부등식의 영역, 이 두개만 색칠할 수 있으면 된다.

[[파일:BsCUKOX.png|width=50%]]
1차원 부등식의 영역은 뭔가 거창한 이름이지만 사실 초등학교 때 부터 해온 [[수직선]] 위 색칠놀이이다. 등호가 들어가 있으면 색칠 된 원, 등호가 없으면 색칠 안 된 원으로 나타내며, 부등호에 따라 오른쪽(큰 쪽), 왼쪽(작은 쪽)을 칠하면 된다. 보통 중2때 부터 배우기 시작한다.

[[파일:A0ULP78.png]]
2차원 부등식의 영역은 고등학교 때 부터 위키러들을 잔뜩 괴롭힐 위 직교좌표계 위 색칠놀이이다. 부등호에 등호가 들어가 있으면 경계선을 실선으로, 없으면 점선으로 표시한다. 점의 경우는 [[수직선]] 위 부등식의 영역과 마찬가지로 포함되면 색칠, 아니면 비워둔다. 그런데 이 2차원 부등식의 영역이 보통 귀찮은게 아닌데, 하나 그리기도 짜증나는 복잡한 함수들의 그래프를 그린 뒤, 각 부등식에 해당하는 부분을 색칠하고, 최종적으로는 모두 겹치는 부분만 남겨야 한다. 게다가 그래프의 교점도 찾아야 하므로 [[방정식]]도 풀어야 한다! 점선과 실선을 헷갈린다든가, 교점이 포함되는지 제외되는지 헷갈린다든가, 아니면 통째로 색칠해야 하는 부분을 틀린다던가... ~~[[안습]]~~   그런데 [[2015 개정 교육과정]]에서는 진로 선택 과목인 경제수학으로 이동한다.

== [[절대부등식]] ==
[[항등식]]과 대응되는 개념. 부등식 내 변수에 어떤 값을 대입하더라도 항상 성립하는 부등식을 말한다. 위에 나오는 계량틱한 부등식들은 고등학교 선에서는 기본으로 가지고 있어야 하는 내용이고, 실제로 [[KMO]] 같은 경시대회나 판을 주름잡는 끝판왕은 절대부등식이다. 자세한 건 [[절대부등식|항목]] 참조. 한국에선 보통 [[수학 2]]에서 배운다.

== 부등식 목록 ==
 * [[산술·기하 평균 부등식]]
 * [[평균부등식]]
 * [[재배열 부등식]]
 * [[T2의 도움정리|<math>T_2</math>의 도움정리]]
 * [[코시-슈바르츠 부등식]]
 * [[슈르 부등식]]
 * [[젠센 부등식]]
 * [[베르누이 부등식]]
 * [[삼각부등식]]
 * [[홀더 부등식]]
 * [[민코프스키 부등식]]
 * [[뮤어헤드 부등식]]
 * [[오일러 부등식]]
 * [[벨의 부등식]]
== 관련 항목 ==
 * [[등호]]
 * [[방정식]]
 * [[항등식]]
 * [[부등호]]
 * [[절대부등식]]

[[분류:부등식]]