코시 주요값 문서 원본 보기

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== 개요 ==
코시 주요값은 일반적인 방법으로 구할 수 없는 이상적분을 구할 수 있는 방법이다.
== 진술 ==
어떤 함수가 <math>{x}_{0}</math>근처에서 발산할 경우,<math>{x}_{0}</math>을 포함하는 구간의 정적분 즉 이상적분은 다음과 같이 계산될 수 있다.
<math>\displaystyle \mathcal{P}\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx=\lim_{c\rightarrow 0+}\left \{  \int_{a}^{{x}_{0}-c}f\left ( x \right )dx+\int_{{x}_{0}+c}^{b}f\left ( x \right )dx\right \}</math>
[[분류:토막글/수학]] [[분류:해석학]]
== 예1 ==
소수 분포를 추정할 때 쓰는 비초등 함수인 로그 적분 함수의 경우 피적분함수가 x=1 근처에서 발산하므로 <math>{x}_{0}=1</math>이다.따라서 x>1일 때 코시 주요값은 다음과 같다.
<math>\displaystyle \mathcal{P}\int_{0}^{x}\frac{1}{\ln x}dx=\lim_{c\rightarrow 0+}\left \{  \int_{0}^{1-c}\frac{1}{\ln x}dx+\int_{1+c}^{x}\frac{1}{\ln x}dx\right \}\left ( x>1 \right )</math>
== 예2 ==
<math>\displaystyle \frac{{e}^{x}}{x}</math>의 부정적분인 지수적분 함수는 해당함수의 도함수인 <math>\displaystyle \frac{{e}^{x}}{x}</math>이 x=0 근처에서 발산한다.그러므로 <math>{x}_{0}=0</math>이다.
해당 함수의 정의는 <math>-\displaystyle \int_{-x}^{\infty}\frac{1}{x{e}^{x}}dx</math>이지만 특이점[* 함수가 어떤 점 근처에서 발산할 때 그 어떤 점을 특이점이라 한다.]인 x=0이 적분구간에 포함된다.(<math>x>0</math>인 경우.)
그러므로 코시 주요값을 사용해서 다음과 같이 정의하자.
<math>\displaystyle \mathcal{P}\int_{-x}^{\infty}\frac{-1}{x{e}^{x}}dx=-\lim_{c\rightarrow 0+}\left (\int_{-x}^{-c}\frac{1}{xe^{x}}dx+\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{c}^{k}\frac{1}{x{e}^{x}}dx  \right )</math>