뉴튼-랩슨 법

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Newton–Raphson method

1 개요

미분가능한 함수

$$f:\left[a, b\right]\to\mathbb{R}$$ 에 대해 x에 대한 방정식 $$f\left(x\right)=0$$ 의 근을 구하는 알고리듬

구간

$$\left[a, b\right]$$ 에서 임의로 원소 $$x_0$$ 를 택하고 다음과 같은 점화식을 정의한다.

$$\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-\frac{f\left ( x_{n-1} \right )}{f'\left ( x_{n-1} \right )}$$

그러면 특정 조건 하에서는 극한값

$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n$$ 이 존재하고 그 극한값이 방정식의 근이 된다.

2 예시

1.

$$\sqrt{2}$$ 의 근삿값 구하기

$$\sqrt{2}$$ 는 방정식 $${x}^{2}-2=0$$ 의 한 근이다. $$f\left ( x \right )=x^{2}-2$$ 로 놓으면 $$f'\left(x\right)=2x$$ 이므로 점화식은 다음과 같다.

$$\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-\frac{{x_{n-1}}^{2}-2}{2x_{n-1}}$$

$$x_0=2$$ 라고 하면 다음과 같이 계산된다.

n	$$x_n$$	$${x_n}^2-2$$
0	2	2
1	1.5	0.25
2	1.41666666666667	0.0069444444
3	1.41421568627451	6.00730488287127E-06
4	1.41421356237469	4.51061410444709E-12

근에 빠른 속도로 수렴하는 것을 볼 수 있다.

2.

$$e^{x}-5x-13=0$$ 의 근의 근삿값 구하기

$$\begin{cases}f\left ( x \right )=e^{x}-5x-13 \\ f'\left ( x \right )= e^{x}-5\end{cases}$$ 로 놓자.
그러면 점화식은 다음과 같다.

$$\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-\frac{e^{x_{n-1}}-5x_{n-1}-13}{e^{x_{n-1}}-5}$$

$$x_0=2.5$$ 라 하면

n	$$x_n$$	$$\left|e^{x}-5x-13\right|$$
0	2.5	13.3175
1	4.3541618151241957988511789941322	43.030776811062596188056120322497020
2	3.7630925920163304376431444439869738	11.265990571927481514206244917402415032
3	3.4672532915952495618147864796317871818	1.712326841620949317395497471413015541809
4	3.40394771327349450824407029106235922737880	0.0628849509258462182263701163275309881038890
5	3.401440601093522986200834613223549883787152058	0.00009446488073375744283276244278720823295292082
6	3.4014368236009392407427035232821017243471934192803	2.14093549169697551824648081631141180381787×10^-10
7	3.40143682359237795898632530877173633488429622077225499	1.0996964616094947860323883001994399×10^-21
8	3.401436823592377958986281333550199112038679107111090952638	2.901424803461507×10^-44

3 주의할 점

• 초기값을 설정하는데 공을 들일 필요가 있다. 영 좋지 않은 초기값을 선택하면 근을 찾는데 많은 시간이 소모될 수 있음은 물론, 값이 수렴하지 않고 발산하는 경우도 생길 수 있다.