디랙 델타 함수

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1 개요

코시나 푸리에가 일찍이 같은 개념을 서술한 적은 있지만, 폴 디랙이 기호와 정의를 최초로 언급하였다. 수학적으로 엄밀히 말하자면 '함수'는 아니다. '일반화된 함수', '분포', 혹은 함수의 '극한' 정도가 되겠다.

일반적으로 아래와 같이 표현한다. 즉, x=0인 한 점에서만 무한대이고, 나머지에서는 0 이다.

$$\delta(x) = \left\{\begin{matrix} 0 \; \; \; \text{if} \; \; \; x \neq 0 \\ \infty \; \; \; \text{if} \; \; \; x = 0 \end{matrix}\right.$$

또한 음의 무한대 부터 양의 무한대 까지 적분하면 1이 되는 특성이 있다.

$$\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty} \delta(x) dx = 1$$

2 동기

다음과 같은 "함수"를 생각해 보자. 임의의 수 a (a>0)에 대해서

$$|x| \le a$$ 에서는 $$\frac{1}{2a}$$ 라는 값을 가지고, 그외의 범위에서는 0 인 함수를 생각하자.

$$\displaystyle\delta_a(x) = \left\{\begin{matrix} 0 \; \; \; \text{if} \; \; \; |x| \gt a \\ {1 \over 2a} \; \; \; \text{if} \; \; \; |x| \le a \end{matrix}\right.$$

이 함수를 음의 무한대 부터 양의 무한대 까지 적분하면 a 값에 상관 없이 1이 된다.

$$\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty} \delta_a(x) dx = 1$$

이제 a 를 0 으로 보내는 극한을 생각하면 된다.

$$\displaystyle \delta(x) = \lim_{a\to 0}\delta_a(x)$$

그럼, x=0에서는 무한대이고, 그외에는 0이면서, 적분하면 1이 되는 함수가 만들어진다.

3 정의

다음과 같은 "함수"를 생각해 보자.

$$\delta(x) = \left\{\begin{matrix} 0 \; \; \; \text{if} \; \; \; x \neq 0 \\ \infty \; \; \; \text{if} \; \; \; x = 0 \end{matrix}\right.$$

만약

$$0 \in (a,b)$$ 라면

$$\displaystyle \int^{b}_{a} \delta(x) d x = 1$$

즉, x=0인 한 점에서만 무한대여서, 무한대를 포함한 정적분을 하면 그 값이 1이 되는 함수의 극한을 생각해 보는 것이다.
그렇다면 모든 곳에서 잘 정의된 f(x)에 대해, 모든 x에 대해

$$\delta(x-a)f(x)=\delta(x-a)f(a)$$ 이다. x가 a일 때는 항등식이고, x가 a가 아닐 땐 $$\delta(x)=0$$ 이므로.
이 식을 마이너스 무한대에서 무한대까지 적분하면

$$\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty} f(x) \delta(x-a) dx = \int_{-\infty}^{\infty} f(a) \delta(x-a) dx = f(a)$$ 이 된다.

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-a) dx = f(a)$$

이것이 sampling property(어떤 함수 f에 대해서든 x=a에서의 함숫값을 뽑아준다!)라고 부르는 디랙 델타 함수의 엄밀한 수학적 정의이다. 위 동기 단락에 나온 델타 함수는, 이 sampling property를 만족하는 함수를 직관적으로 이해하기 위한 하나의 예시일 뿐이다. 델타 함수는 적분 아래에서만 엄밀히 정의될 수 있으며, 이 sampling property를 만족하는 함수의 극한은 여러 가지를 만들 수 있고(일부 예시), 그 중에는 x가 0이 아닌 곳에서 함수의 값이 0으로 수렴하지 않는 것들도 있다. 물론 점질량의 밀도와 같이 동기 단락에 나온 꼴을 표현하는 데에도 쓸 수 있지만, 역으로 델타 함수라면 무조건 점질량의 밀도처럼 생겼다고 시각화하는 것도 오류인 셈.

4 발산의 기본정리와의 관계

이걸로 벡터미적분학의 기본정리 중 하나인 발산의 기본정리 (The Fundamental Theorem of Divergence)에서 나오는 역설이 해결된다. 이 정리에 (

$$1/r^2$$ )의 크기를 가진 원심 방향의 벡터함수를 대입하면 $$0=4\pi$$ 라는 식이 나온다. 문제는 $$1/r^2$$ 에서 $$r=0$$ 일 때 무한대로 나눴는데 중간 수식에 $$r^2$$ 과 곱하는 때가 있었기 때문에 드러나지 않았던 것이다. 좌변의 $$0$$ 은 $$0$$ 을 적분한 결과인데, 이 $$0$$ 을 $$\delta(r)$$ 로 바꿔 이 역설을 풀 수 있다. 원래 이 역설을 해결하려고 만든 건 아니지만.(그리고 델타함수의 도입 여부와는 관계없이 발산의 기본정리는 완전히 타당하다. 애초에 발산의 기본정리는 continuously differentiable한 벡터함수와 compact and piecewisely smooth한 경계를 가진 입체에 대한 정리다.(증명을 해본다면 왜 이런 조건 하에서만 보장하는지 알 수 있다.) 따라서, 원점에선 정의조차 되지 않는, 심지어 제거 가능하게 불연속적이지도 않은 문제의 벡터함수에 대해서는 (적어도 발산의 기본정리는)원래부터 아무 얘기도 하지 못하는 것. 실제로 이 벡터 함수의 발산을 원점을 포함한 임의의 입체에서 부피 적분한 값이, 벡터함수를 그 입체의 경계에서 면 적분한 값과 같은지를 확인해보기 이전에, 원점에서의 발산부터 정의되지 않음을 알 수 있다. 따라서 발산의 부피 적분도 그 부피가 원점을 포함한다면 정의되지 않는다. 역설 해결이란 거창한 이름 하에 행해진 것은 다름 아닌 이 정의되지 않는 부피 적분을 면 적분과 같은 $$4\pi$$ 로 임의적으로 설정해준 것뿐이다. 그것이 곧 문제의 함수의 발산을 $$4\pi\delta(r)$$ 로 정해준 것과 같다. 발산의 기본 정리의 전제 조건에 부합하지 않는 하고 많은 벡터 함수들 중 왜 하필 이 함수에 대해서만 이런 짓을 했느냐, 그것은 물리학과 관계가 있다. 연속전하분포에 대한 정전기학 이론을 점전하에 대해서도 통용시킬 수 있도록 하기 위함이다.)

또한 이런 성질 때문에 합성곱(Convolution) $$\displaystyle \left(f*g\right)\left(t\right)= \int_{-\infty}^{\infty}f(t-u)g(u)du$$ 의 항등원으로 작용하며, 해석학에서도 주어진 함수열을 디랙 델타 함수로 근사시켜 여러 정리를 증명하는 수단으로 사용한다.