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르장드르 변환

1 개요

수학적인 변환으로, 열역학 변수로부터 깁스 자유에너지와 헬름홀츠 자유에너지를 얻기 위해 사용된다.

2 상세

함수 y=f(x) 위의 임의의 점에서 접선을 그었을 때의 기울기를 fx, y절편을 ψ 라 할때

fx=yψx0

ψ=yfxx 로 나타낼 수 있는데, 이 ψydydx 에대한 르장드르 변환이라고 하며, ψ=y[fx]로도 나타낸다. 이때 미분계수와 y절편의 집합은 x,y로 이루어진 함수와 완전히 동등한 집합으로 대응된다.

두 변수에 대한 열역학적 변환은 ψ=z[fx,fx]=zfxxfyy로 나타낼 수 있다.

3 열역학

온도와 압력은 각각 내부에너지 U의 편미분으로 나타난다.
T=(US)V,P=(UV)S

따라서 르장드르 변환을 진행하면

U[P]=U+PVH
U[T]=UTSA
U[T,P]=U+PVTSG

로 나머지 기본에너지들을 유도할 수 있다. 따라서 각 기본에너지들이 가지고있는 정보는 내부에너지 U와 동등하다.