르장드르 변환

1 개요

수학적인 변환으로, 열역학 변수로부터 깁스 자유에너지와 헬름홀츠 자유에너지를 얻기 위해 사용된다.

2 상세

함수

$$y=f(x)$$ 위의 임의의 점에서 접선을 그었을 때의 기울기를 $$f_x$$ , y절편을 $$\psi$$ 라 할때

$$\displaystyle f_x= {y-\psi \over x-0}$$

$$\displaystyle \psi=y- f_x x$$ 로 나타낼 수 있는데, 이 $$\psi$$ 를 $$y$$ 의 $${dy \over dx}$$ 에대한 르장드르 변환이라고 하며, $$\psi=y[f_x]$$ 로도 나타낸다. 이때 미분계수와 y절편의 집합은 x,y로 이루어진 함수와 완전히 동등한 집합으로 대응된다.

두 변수에 대한 열역학적 변환은

$$\psi=z[f_x,f_x]=z-f_x x-f_y y$$ 로 나타낼 수 있다.

3 열역학

온도와 압력은 각각 내부에너지 U의 편미분으로 나타난다.

$$\displaystyle T=\left ( {\partial U \over \partial S} \right)_V , P=- \left ( {\partial U \over \partial V} \right)_S$$

따라서 르장드르 변환을 진행하면

$$U[P]=U+PV \equiv H$$
$$U[T]=U-TS \equiv A$$
$$U[T,P]=U+PV-TS \equiv G$$

로 나머지 기본에너지들을 유도할 수 있다. 따라서 각 기본에너지들이 가지고있는 정보는 내부에너지 U와 동등하다.