모티브(대수기하학)

1 알못을 위한 소개

Motive를 간단히 말하면 복소수 위 말고 다른 세계에서도 복소해석을 생각해보자다. 복소해석 하면 그 영역 생각하니가 극좌표 변환같은 이상한 거 말고 중요한 정리로 코시의 적분 정리가 있다. 코시의 적분 정리란 적분할 함수를 폐곡선으로 적분할 때 폐곡선 내부에 적분할 함수가 해석적(analytic)이라면 그 적분값은 0이라는 정리다. 이는 매우 중요한데, differential forms들과 closed curve 사이의 관계가 어떻게 되어 있는지 알려주기 때문이다. 그리고 이것을 de Rham theorem이라고 부른다. homology란 적분에 의해서 잘 변하는 closed curve의 모임, cohomology는 적분에 의해서 잘 변하는 differential forms들의 모임으로 불 수 있고 이 둘을 엮는 것이다. 그리고 이를 발전시킨 것이 바로 Hodge theory. 그리고 이것을 더 일반화 시킨 것이 motive다.

어째 여전히 수학과가 아니고서야 이해가 불가능한 것 같다

2 역사

1960년대 etale cohomology가 만들어졌다. etale cohomology는 Weil conjecture라는 엄청난 가설을 풀 수 있는 열쇠로 여겨졌고 실제로 etale cohomology로 Weil conjecture는 풀리게 된다. 하지만 Grothendieck는 훨씬 더 거대한 것을 생각하게 되는데, Weil conjecture를 풀 수 있는 적당한 cohomology를 만들려고 노력한 것이 결국 복소수 위의 cohomology와 성질이 거의 같은 cohomology를 finite field 위에서 찾는 일과 같음을 깨달았기 때문에. 그렇게 해서 etale cohomology같은 cohomology를 어디에서든 찾을 수 있다는 것이 Grothendieck의 생각이었고, 그렇게 해서 motive라는 것을 생각하게 되었다.

3 개요

그러면 이런 cohomology를 어떻게 만드는 걸까?? 먼저 우리가 원하는 cohomology가 어떤 성질을 가져야 하는지 생각해보자. $$k\subseteq \Bbb{C}$$ 를 field라고 하고 $$\mathrm{Var}_{k}$$ 를 $$k$$ 위의 모든 smooth projective (not assurmed connected) variety라고 해보자. 그리고 $$E$$ 를 아무 field (of characteristic 0)라고 하고 $$\mathrm{Gr}_{E}$$ 를 $$E$$ 위의 category of finite dimensional graded $$E$$ -vector space라고 하자. 그렇다면 $$\mathrm{Gr}_{E}$$ 엔 tensor product를 정의할 수 있는데,
$$(V \otimes W)_n=\bigoplus_{i+j=n}V_i\otimes W_j$$
라고 정의되면 잘 정의된다. (이를 생각하는 이유는 cohomology ring때문이다. cohomology라면 당연히 cup product가 있어야 한다는 생각 때문에.)그렇다면 다음과 같은 성질은 어떨까. tensor functor $$H^*:\mathrm{Var}_{k}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Gr}_{E}$$ 를 생각하자. (tensor functor라는 것은 곧 Kunneth formula를 뜻한다.) tensor product라면
$$K_{X,Y}:H^*(X)\otimes H^*(Y)\cong H^*(X\times Y)$$
를 생각할 수 있다.

Nomalization. $$\ltmath\gtH^2(\Bbb{P}^1)$$ 은 $$\mathrm{Gr}_{E}$$ 에서 invertible이다. 이제 $$V\in \mathrm{Gr}_{E}$$ 라면 $$V(r)=V\otimes H^2(\Bbb{P}^1)^{-\otimes r}$$ 라고 정의하자.

Trace axiom. $$\ltmath\gtX$$ 가 equidimension $$d$$ 를 갖는다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 trace morphism $$\mathrm{Tr}_{X}:H^{2d}(X)(d)\to E$$ 가 있어서 다음 둘을 만족한다. (a) $$K_{X,Y}$$ 에 의해서 $$\mathrm{Tr}_{X\times Y}=\mathrm{Tr}_{X}\circ \mathrm{Tr}_{Y}$$ 다. 그러니까 $$d_X$$ 가 $$X$$ 의 dimension이라면 $$H^{2d}(X\times Y)(d_X+d_Y)\overset{K_{X,Y}}{\longrightarrow}H^{2d}(X)(d_X)\otimes_{E} H^{2d}(Y)(d_Y)\overset{\mathrm{id}\otimes \mathrm{Tr}_{Y}}{\longrightarrow} E\otimes_{E}H^{2d}(Y)(d_Y)\longrightarrow E$$ 와 그냥 $$\mathrm{Tr}_{X\times Y}$$ 로 가는 거와 같은 morphism이라는 것이다. (b) 다음 morphism을 생각하자. $$H^*(X)\otimes H^*(X)\overset{K_{X,X}}{\longrightarrow}H^*(X)\otimes H^*(X)\overset{\Delta^*}{\longrightarrow}H^*(X)$$ 여기에서 $$\Delta$$ 는 $$x$$ 를 $$(x,x)$$ 로 보내는 morphism. 그리고 이 composition을 cup product라고 하자. 그러면 $$H^{i}(X)\times H^{2d-i}(X)(d)\longrightarrow H^{2d}(X)(d)\longrightarrow E$$ 라는 cup product와 trace morphism의 composition은 perfect pairing을 이룬다.

cycle class map. $$\ltmath\gtZ^r(X)$$ 를 codimension $$r$$ 인 integral closed scheme $$Z\hookrightarrow X$$ 들을 basis로 하는 $$\Bbb{Q}$$ 라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 cycle class map이 있다. \gamma^r_{X}:Z^r(X)\longrightarrow H^{2r}(X)(r) 그리고 다음과 같은 좋은 성질들을 만족한다. (a) $$\gamma^r_{X}$$ 는 Chow group을 만든다. Chow group은 $$Z^r(X)$$ 을 rational equivalence로 나눈 것. (b) $$\gamma^r_{X}$$ 는 contravariant다. 그러니까 $$f^*\gamma^r_{Y}(Z)=\gamma^{r}_{X}([f^{-1}Z])$$ 가 된다. 여기에서 $$f$$ 는 flat이어야 하는데, 그 이유는 $$[f^{-1}Z]$$ 를 잘 정의해야 하니까. 아니면 equidimensional이란 성질이 깨저서 정의를 못 한다. (c) $$\alpha\in Z^r(X),\beta\in Z^s(Y)$$ 라면 $$\gamma^r_{X}(\alpha)\times \gamma^s_Y(\beta)=\gamma^{r+s}(\alpha\times \beta)$$ 가 된다. 이 때에도 $$\alpha\times \beta$$ 가 언제나 integral scheme인 건 아니니까 reduced structure를 생각해야 한다. (d) $$Z^d(X)\longrightarrow H^{2d}(X)(d)\longrightarrow E$$ 는 $$[P_i]$$ 를 $$[k(P_i):k]$$ 로 보낸다.