목차
1 알못을 위한 소개
Motive를 간단히 말하면 복소수 위 말고 다른 세계에서도 복소해석을 생각해보자다. 복소해석 하면 그 영역 생각하니가 극좌표 변환같은 이상한 거 말고 중요한 정리로 코시의 적분 정리가 있다. 코시의 적분 정리란 적분할 함수를 폐곡선으로 적분할 때 폐곡선 내부에 적분할 함수가 해석적(analytic)이라면 그 적분값은 0이라는 정리다. 이는 매우 중요한데, differential forms들과 closed curve 사이의 관계가 어떻게 되어 있는지 알려주기 때문이다. 그리고 이것을 de Rham theorem이라고 부른다. homology란 적분에 의해서 잘 변하는 closed curve의 모임, cohomology는 적분에 의해서 잘 변하는 differential forms들의 모임으로 불 수 있고 이 둘을 엮는 것이다. 그리고 이를 발전시킨 것이 바로 Hodge theory. 그리고 이것을 더 일반화 시킨 것이 motive다.
어째 여전히 수학과가 아니고서야 이해가 불가능한 것 같다
2 역사
1960년대 etale cohomology가 만들어졌다. etale cohomology는 Weil conjecture라는 엄청난 가설을 풀 수 있는 열쇠로 여겨졌고 실제로 etale cohomology로 Weil conjecture는 풀리게 된다. 하지만 Grothendieck는 훨씬 더 거대한 것을 생각하게 되는데, Weil conjecture를 풀 수 있는 적당한 cohomology를 만들려고 노력한 것이 결국 복소수 위의 cohomology와 성질이 거의 같은 cohomology를 finite field 위에서 찾는 일과 같음을 깨달았기 때문에. 그렇게 해서 etale cohomology같은 cohomology를 어디에서든 찾을 수 있다는 것이 Grothendieck의 생각이었고, 그렇게 해서 motive라는 것을 생각하게 되었다.
3 개요
그러면 이런 cohomology를 어떻게 만드는 걸까?? 먼저 우리가 원하는 cohomology가 어떤 성질을 가져야 하는지 생각해보자. [math]k\subseteq \Bbb{C}[/math]를 field라고 하고 [math] \mathrm{Var}_{k}[/math]를 [math]k[/math] 위의 모든 smooth projective (not assurmed connected) variety라고 해보자. 그리고 [math] E[/math]를 아무 field (of characteristic 0)라고 하고 [math]\mathrm{Gr}_{E}[/math]를 [math]E[/math] 위의 category of finite dimensional graded [math]E[/math]-vector space라고 하자. 그렇다면 [math] \mathrm{Gr}_{E}[/math]엔 tensor product를 정의할 수 있는데,
[math] (V \otimes W)_n=\bigoplus_{i+j=n}V_i\otimes W_j[/math]
라고 정의되면 잘 정의된다. (이를 생각하는 이유는 cohomology ring때문이다. cohomology라면 당연히 cup product가 있어야 한다는 생각 때문에.)그렇다면 다음과 같은 성질은 어떨까. tensor functor [math] H^*:\mathrm{Var}_{k}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Gr}_{E}[/math]를 생각하자. (tensor functor라는 것은 곧 Kunneth formula를 뜻한다.) tensor product라면
[math] K_{X,Y}:H^*(X)\otimes H^*(Y)\cong H^*(X\times Y)[/math]
를 생각할 수 있다.
| Nomalization. [math] \ltmath\gtH^2(\Bbb{P}^1)[/math]은 [math]\mathrm{Gr}_{E}[/math]에서 invertible이다. 이제 [math]V\in \mathrm{Gr}_{E}[/math]라면 [math]V(r)=V\otimes H^2(\Bbb{P}^1)^{-\otimes r}[/math] 라고 정의하자. |
| Trace axiom. [math] \ltmath\gtX[/math]가 equidimension [math]d[/math]를 갖는다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 trace morphism [math]\mathrm{Tr}_{X}:H^{2d}(X)(d)\to E[/math] 가 있어서 다음 둘을 만족한다. (a) [math]K_{X,Y}[/math]에 의해서 [math]\mathrm{Tr}_{X\times Y}=\mathrm{Tr}_{X}\circ \mathrm{Tr}_{Y}[/math]다. 그러니까 [math]d_X[/math]가 [math]X[/math]의 dimension이라면 [math]H^{2d}(X\times Y)(d_X+d_Y)\overset{K_{X,Y}}{\longrightarrow}H^{2d}(X)(d_X)\otimes_{E} H^{2d}(Y)(d_Y)\overset{\mathrm{id}\otimes \mathrm{Tr}_{Y}}{\longrightarrow} E\otimes_{E}H^{2d}(Y)(d_Y)\longrightarrow E[/math] 와 그냥 [math]\mathrm{Tr}_{X\times Y}[/math]로 가는 거와 같은 morphism이라는 것이다. (b) 다음 morphism을 생각하자. [math]H^*(X)\otimes H^*(X)\overset{K_{X,X}}{\longrightarrow}H^*(X)\otimes H^*(X)\overset{\Delta^*}{\longrightarrow}H^*(X)[/math] 여기에서 [math] \Delta[/math]는 [math]x[/math]를 [math](x,x)[/math]로 보내는 morphism. 그리고 이 composition을 cup product라고 하자. 그러면 [math] H^{i}(X)\times H^{2d-i}(X)(d)\longrightarrow H^{2d}(X)(d)\longrightarrow E[/math] 라는 cup product와 trace morphism의 composition은 perfect pairing을 이룬다. |
| cycle class map. [math] \ltmath\gtZ^r(X)[/math]를 codimension [math]r[/math]인 integral closed scheme [math]Z\hookrightarrow X[/math]들을 basis로 하는 [math]\Bbb{Q}[/math]라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 cycle class map이 있다. \gamma^r_{X}:Z^r(X)\longrightarrow H^{2r}(X)(r) 그리고 다음과 같은 좋은 성질들을 만족한다. (a) [math]\gamma^r_{X}[/math]는 Chow group을 만든다. Chow group은 [math]Z^r(X)[/math]을 rational equivalence로 나눈 것. (b) [math]\gamma^r_{X}[/math]는 contravariant다. 그러니까 [math] f^*\gamma^r_{Y}(Z)=\gamma^{r}_{X}([f^{-1}Z])[/math] 가 된다. 여기에서 [math]f[/math]는 flat이어야 하는데, 그 이유는 [math][f^{-1}Z][/math]를 잘 정의해야 하니까. 아니면 equidimensional이란 성질이 깨저서 정의를 못 한다. (c) [math]\alpha\in Z^r(X),\beta\in Z^s(Y)[/math]라면 [math] \gamma^r_{X}(\alpha)\times \gamma^s_Y(\beta)=\gamma^{r+s}(\alpha\times \beta)[/math] 가 된다. 이 때에도 [math]\alpha\times \beta[/math]가 언제나 integral scheme인 건 아니니까 reduced structure를 생각해야 한다. (d) [math] Z^d(X)\longrightarrow H^{2d}(X)(d)\longrightarrow E[/math] 는 [math][P_i][/math]를 [math][k(P_i):k][/math]로 보낸다. |