베르누이 미분방정식

Bernoulli differential equation

1 개요

베르누이 미분방정식은

$$y$$ 가 $$t$$ 의 함수일 때 다음과 같이 표현되는 비선형 1계 상미분 방정식이다.
$$y'(t) + p(t) y(t) = q(t) y(t)^n\qquad(n\neq 0, 1)$$
이 방정식은 1695년 이를 처음으로 연구한 야콥 베르누이의 이름을 붙였다. 베르누이 미분방정식은 비선형 상미분방정식임에도 일반해를 구하는 방법이 알려져 있는 특수한 경우이다. 로지스틱 방정식은 베르누이 미분방정식의 한 예이다.

2 해법

자명해가 아닌 해를 구하려면 양변을

$$y^n$$ 로 나누고 $$\displaystyle u = \frac{1}{y^{n-1}}$$ 로 치환하여 다음과 같은 선형 상미분방정식으로 변환한다.
$$u'(t) + (1-n) p(t) u(t) = (1-n) q(t)$$
이렇게 치환된 문제는 적분인자를 사용한 해법으로 쉽게 해를 구할 수 있다. 이 치환된 문제의 해를 $$u^*(t)$$ 라 하면 베르누이 미분방정식의 해는 $$\displaystyle y(t) = \Big[u^*(t)\Big]^{\frac{1}{1-n}}$$ 이다.

풀이를 쉽게 하기 위해 위의 식에서

$$P(t) = (1-n) p(t)$$ 라고 하고 $$Q(t)=(1-n)q(t)$$ 라고 하면 적분인자는 $$\displaystyle e^{\int P(t)\,dt}$$ 이고, 이로부터 $$u^*(t)$$ 를 다음과 같이 얻을 수 있다.
$$\displaystyle u^*(t) = \frac{\int e^{\int P(t)\,dt} Q(t)\,dt + C}{e^{\int P(t)\,dt}} = \frac{(1-n)\int e^{(1-n)\int p(t)\,dt} q(t)\,dt + C}{e^{(1-n)\int p(t)\,dt}}$$
따라서 초기조건에 따라 적분상수 $$C$$ 를 적당한 값으로 정해주면 $$y(t)$$ 는 다음과 같다.

$$\displaystyle y(t) = \left[ \frac{(1-n)\int e^{(1-n)\int p(t)\,dt} q(t)\,dt + C}{e^{(1-n)\int p(t)\,dt}}\right]^{\frac{1}{1-n}}$$