베르누이 미분방정식

Bernoulli differential equation

1 개요

베르누이 미분방정식은 y

t
의 함수일 때 다음과 같이 표현되는 비선형 1계 상미분 방정식이다.
y(t)+p(t)y(t)=q(t)y(t)n(n0,1)
[1]
이 방정식은 1695년 이를 처음으로 연구한 야콥 베르누이의 이름을 붙였다. 베르누이 미분방정식은 비선형 상미분방정식임에도 일반해를 구하는 방법이 알려져 있는 특수한 경우이다. 로지스틱 방정식은 베르누이 미분방정식의 한 예이다.

2 해법

자명해가 아닌 해를 구하려면 양변을 yn

로 나누고 u=1yn1
로 치환하여 다음과 같은 선형 상미분방정식으로 변환한다.
u(t)+(1n)p(t)u(t)=(1n)q(t)

이렇게 치환된 문제는 적분인자를 사용한 해법으로 쉽게 해를 구할 수 있다. 이 치환된 문제의 해를 u(t)
라 하면 베르누이 미분방정식의 해는 y(t)=[u(t)]11n
이다.

풀이를 쉽게 하기 위해 위의 식에서 P(t)=(1n)p(t)

라고 하고 Q(t)=(1n)q(t)
라고 하면 적분인자는 eP(t)dt
이고, 이로부터 u(t)
를 다음과 같이 얻을 수 있다.
u(t)=eP(t)dtQ(t)dt+CeP(t)dt=(1n)e(1n)p(t)dtq(t)dt+Ce(1n)p(t)dt

따라서 초기조건에 따라 적분상수 C
를 적당한 값으로 정해주면 y(t)
는 다음과 같다.

y(t)=[(1n)e(1n)p(t)dtq(t)dt+Ce(1n)p(t)dt]11n
  1. 이동 여기서 n=0
    또는 n=1
    이면 선형 1계 상미분 방정식으로 쉽게 풀린다.