Bernoulli differential equation
1 개요
베르누이 미분방정식은 y가 t의 함수일 때 다음과 같이 표현되는 비선형 1계 상미분 방정식이다.
y′(t)+p(t)y(t)=q(t)y(t)n(n≠0,1)[1]
이 방정식은 1695년 이를 처음으로 연구한 야콥 베르누이의 이름을 붙였다. 베르누이 미분방정식은 비선형 상미분방정식임에도 일반해를 구하는 방법이 알려져 있는 특수한 경우이다. 로지스틱 방정식은 베르누이 미분방정식의 한 예이다.
2 해법
자명해가 아닌 해를 구하려면 양변을 yn로 나누고 u=1yn−1로 치환하여 다음과 같은 선형 상미분방정식으로 변환한다.
u′(t)+(1−n)p(t)u(t)=(1−n)q(t)
이렇게 치환된 문제는 적분인자를 사용한 해법으로 쉽게 해를 구할 수 있다. 이 치환된 문제의 해를 u∗(t)라 하면 베르누이 미분방정식의 해는 y(t)=[u∗(t)]11−n이다.
풀이를 쉽게 하기 위해 위의 식에서 P(t)=(1−n)p(t)라고 하고 Q(t)=(1−n)q(t)라고 하면 적분인자는 e∫P(t)dt이고, 이로부터 u∗(t)를 다음과 같이 얻을 수 있다.
u∗(t)=∫e∫P(t)dtQ(t)dt+Ce∫P(t)dt=(1−n)∫e(1−n)∫p(t)dtq(t)dt+Ce(1−n)∫p(t)dt
따라서 초기조건에 따라 적분상수 C를 적당한 값으로 정해주면 y(t)는 다음과 같다.
- 이동 ↑ 여기서 n=0또는 n=1이면 선형 1계 상미분 방정식으로 쉽게 풀린다.