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베이트먼 방정식

Bateman equation

Nn(t)=n1j=1λjni=1nj=1(N1(0)eλjtnp=i,pj(λpλj))

방사성 붕괴 계열에 속하는 방사성 동위원소와 같이 핵종이 여러 중간단계의 핵종을 거쳐 안정된 원소에 도달한다고 할 때, 특정 시간 이후의 n번째 딸핵의 입자수Nn(t)를 계산하기 위한 식이다. N은 입자의 수를 나타내며, N1(0)은 최초 모핵의 양이다. 계산을 위해서는 첫번째 모핵부터 계산하고자 하는 세대의 딸핵이 가지고 있는 붕괴상수(λ1,λ2,,λn)를 알아야 한다.n번째 딸핵의 방사능An은 베이트만 방정식을 통해 구한 핵종 수에 n번째 딸핵의 붕괴상수 λn을 곱하여 얻을 수 있다.

An(t)=λnNn(t)

1 베이트먼 방정식의 전개

베이트먼 방정식은 각각 2개의 로 인해 겉보기와는 달리 계산할 것이 많아서 중간중간 헷갈리기 십상이다. 뭐? 그래서 이 식을 계산하기 편한 형태로 전개한 것이 계산에 자주 이용된다.

Nn(t)=C1eλ1t+C2eλ2t+C3eλ3t++Cneλnt
  C1=λ1λ2λ3λn1(λ2λ1)(λ3λ1)(λnλ1)N1(0)

  C2=λ1λ2λ3λn1(λ1λ2)(λ3λ2)(λnλ2)N1(0)
  C3=λ1λ2λ3λn1(λ1λ3)(λ2λ3)(λnλ3)N1(0)
\lts> </s>                           
  Cn=λ1λ2λ3λn1(λ1λn)(λ2λn)(λn1λn)N1(0)

Cn의 분모에서 (λiλk)라고 하면, i=k인 항은 제외한다는 점에 주의하여 계산을 하도록 하자. 이렇게 전개한 식은 헷갈릴 염려도 덜할 뿐만 아니라 각각의 이 어떤역할을 하는지 명확하게 보여준다.

2 이용

여러 단계를 거치는 경우에 이용되는 방정식으로 악티나이드[1]원소와 그 딸핵들 각각의 원자수, 방사능을 계산할 수 있다.

주로 원자력 발전소에서 나오는 사용후핵연료 등의 방사성폐기물들의 해석에 이용한다.

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계산한 우라늄 계열의 동위원소들에서 발생하는 방사능의 변화악티늄 계열의 동위원소들에서 발생하는 방사능의 변화
위의 그래프는 베이트먼 방정식을 이용해서 계산한 시간당 방사능이다. 실제 사용후 핵연료의 데이터를 기반으로 만들어졌으며, 우라늄 계열(4n+2[2])과 악티늄 계열(4n+3)의 방사능 변화를 베이트먼 방정식을 통한 계산결과가 어떤 모습인지 알 수 있다. 단, 이 그래프는 가로축과 세로축이 모두 로그스케일이라는 점에 주의하자.
  1. 이동 원자번호 89(악티늄)부터 103(로렌슘)까지의 원소들을 말한다. 우라늄과 플루토늄 등이 이에 속한다.
  2. 이동 질량수에 따라 계열이 나뉜다. 여기서 n은 자연수.