변곡점

變曲點, point(s) of inflection.

어떤 함수의 증감 추세가 바뀌는 점. 예를 들어 어떤 함수가 변곡점 이전에서는 경사(기울기)가 점점 급해지는 추세였다면 변곡점이 지난 후에는 경사가 점점 완만해지게 된다. (물론 이 반대도 성립한다)

파일:Inflection-2.png
다음 그림은 [math]y=x^3-3x^2 [/math] (파란색 곡선)과 [math]y=1-3x [/math] (빨간색 직선)을 나타낸 것. x=1을 경계로 x<1일 때는 함수의 기울기가 감소하는 추세였다면 x>1일 때는 점점 증가하고 있으므로 x=1은 이 함수의 변곡점이다. 변곡점에서의 접선인 [math]y=1-3x [/math]는 함수를 완전히 꿰뚫고 있다.

수학적으로 표현하자면 어떤 함수 [math]y=f(x) [/math] 를 미분해서 얻은 도함수 [math]y=f'(x) [/math] 의 증감이 바뀌는 지점을 말한다. 즉, 이계도함수 [math]y=f''(x) [/math] 의 부호가 바뀌는 지점이다. 이 때 주의해야 할 점은 [math]f''(x)=0 [/math]인 지점이라고 꼭 변곡점이라고 할 수는 없다는 것이다. 예를 들어 [math]f''(x)=(x-1)^2[/math] 의 경우 [math]f''(x)=0[/math] 이지만 함수 [math]y=f(x)[/math] 는 x=1에서 변곡점을 가지지 않는다.

수학 뿐만이 아니라도 신문 등 각종 대중 매체에서도 가끔 볼 수 있는 말로, 무언가 중대한 전환점이 왔을 때 주로 쓰인다. 특히 박문성

고등학교 과정에서는 미분가능한 점에서 [math]f''(x)=0[/math]이고 좌우 부호가 반대이면 변곡점이다라고 하는데, 이걸 거꾸로 해서 변곡점이면 [math]f''(x)=0[/math]이고 좌우 부호가 반대이다 하면 가차없이 틀린다. 실제로 모평에서 이런 낚시가 나왔었다. [math]f''(x)=0[/math]이 아니라도 한 점을 기준으로 이계도함수의 좌우 부호가 반대이면 변곡점이다. 도함수가 미분불가능해도 변곡점은 나온다는 소리.