비례·반비례

1 개요

두 변수가 있을 때, 한 변수가 2배, 3배 되면 다른 한 변수도 2배, 3배 되는 경우 그 두 변수는 (정)비례 관계에 있다고 한다. 반면 한 변수가 2배, 3배 될 때 다른 변수가 1/2배, 1/3배 된다면 두 변수는 반비례 관계에 있다고 한다.

식으로 나타내자면 $$a$$ 가 상수일 때 $$y=ax$$ 를 만족하는 경우 두 변수 $$x, y$$ 는 정비례 관계에 있고, $$\displaystyle y=\frac{a}{x}$$ 를 만족하는 경우 $$x, y$$ 는 반비례 관계에 있다.

2 정의

두 변수 $$x, y$$ 가 정비례한다고 함은 다음을 만족하는 함수 $$f$$ 에 대하여 $$y=f\left(x\right)$$ 를 만족한다는 뜻이다.

임의의 $$k, x$$ 에 대하여 $$f\left(kx\right)=kf\left(x\right)$$

이 정의를 이용해 함수 $$f$$ 를 묘사하는 식을 구할 수 있다.

$$x\neq 0$$ 일 때, $$\displaystyle g\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{x}$$ 라 정의하자. 그러면 0이 아닌 임의의 $$k, x$$ 에 대하여 $$g\left(kx\right)=g\left(x\right)$$ 가 성립한다. 이로부터 0이 아닌 임의의 $$x$$ 에 대해서 $$g\left(x\right)$$ 는 일정한 값을 가짐을 알 수 있다. 그 값을 상수 $$a$$ 라 하자. 그러면 0이 아닌 임의의 $$x$$ 에 대해서 $$f\left(x\right)=ax$$ 를 만족한다. 그런데 정의에 의해 $$f\left(0\right)=0$$ 이다. 따라서 임의의 $$x$$ 에 대해 $$f\left(x\right)=ax$$ 이다.

두 변수 $$x, y$$ 가 반비례한다고 함은 다음을 만족하는 함수 $$f$$ 에 대하여 $$y=f\left(x\right)$$ 를 만족한다는 뜻이다.

0이 아닌 임의의 $$k, x$$ 에 대하여 $$\displaystyle f\left(kx\right)=\frac{f\left(x\right)}{k}$$

마찬가지로 이러한 함수 $$f$$ 를 묘사하는 식은 다음과 같이 구할 수 있다.

$$x\neq 0$$ 일 때, $$g\left(x\right)=xf\left(x\right)$$ 라 정의하자. 그러면 0이 아닌 임의의 $$k, x$$ 에 대해서 $$g\left(kx\right)=g\left(x\right)$$ 가 성립한다. 이로부터 0이 아닌 임의의 $$x$$ 에 대해서 $$g\left(x\right)$$ 는 일정한 값을 가짐을 알 수 있다. 그 값을 상수 $$a$$ 로 놓자. 그러면 0이 아닌 임의의 $$x$$ 에 대해 $$\displaystyle f\left(x\right)={a\over x}$$ 이다.