1 개요
두 변수가 있을 때, 한 변수가 2배, 3배 되면 다른 한 변수도 2배, 3배 되는 경우 그 두 변수는 (정)비례 관계에 있다고 한다. 반면 한 변수가 2배, 3배 될 때 다른 변수가 1/2배, 1/3배 된다면 두 변수는 반비례 관계에 있다고 한다.
식으로 나타내자면 [math]a[/math]가 상수일 때 [math]y=ax[/math]를 만족하는 경우 두 변수 [math]x, y[/math]는 정비례 관계에 있고, [math]\displaystyle y=\frac{a}{x}[/math]를 만족하는 경우 [math]x, y[/math]는 반비례 관계에 있다.
2 정의
두 변수 [math]x, y[/math]가 정비례한다고 함은 다음을 만족하는 함수 [math]f[/math]에 대하여 [math]y=f\left(x\right)[/math]를 만족한다는 뜻이다.
- 임의의 [math]k, x[/math]에 대하여 [math]f\left(kx\right)=kf\left(x\right)[/math]
이 정의를 이용해 함수 [math]f[/math]를 묘사하는 식을 구할 수 있다.
[math]x\neq 0[/math]일 때, [math]\displaystyle g\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{x}[/math]라 정의하자. 그러면 0이 아닌 임의의 [math]k, x[/math]에 대하여 [math]g\left(kx\right)=g\left(x\right)[/math]가 성립한다. 이로부터 0이 아닌 임의의 [math]x[/math]에 대해서 [math]g\left(x\right)[/math]는 일정한 값을 가짐을 알 수 있다. 그 값을 상수 [math]a[/math]라 하자. 그러면 0이 아닌 임의의 [math]x[/math]에 대해서 [math]f\left(x\right)=ax[/math]를 만족한다. 그런데 정의에 의해 [math]f\left(0\right)=0[/math]이다. 따라서 임의의 [math]x[/math]에 대해 [math]f\left(x\right)=ax[/math]이다.
두 변수 [math]x, y[/math]가 반비례한다고 함은 다음을 만족하는 함수 [math]f[/math]에 대하여 [math]y=f\left(x\right)[/math]를 만족한다는 뜻이다.
- 0이 아닌 임의의 [math]k, x[/math]에 대하여 [math]\displaystyle f\left(kx\right)=\frac{f\left(x\right)}{k}[/math]
마찬가지로 이러한 함수 [math]f[/math]를 묘사하는 식은 다음과 같이 구할 수 있다.
[math]x\neq 0[/math]일 때, [math]g\left(x\right)=xf\left(x\right)[/math]라 정의하자. 그러면 0이 아닌 임의의 [math]k, x[/math]에 대해서 [math]g\left(kx\right)=g\left(x\right)[/math]가 성립한다. 이로부터 0이 아닌 임의의 [math]x[/math]에 대해서 [math]g\left(x\right)[/math]는 일정한 값을 가짐을 알 수 있다. 그 값을 상수 [math]a[/math]로 놓자. 그러면 0이 아닌 임의의 [math]x[/math]에 대해 [math]\displaystyle f\left(x\right)={a\over x}[/math]이다.