파일:이차함수.jpg
위 사진은 [math]y=x^2[/math]의 그래프이다.
1 개요
이차함수(二次函數), Quadratic function
이차함수의 기본형은 [math] y = ax^2 (a \ne 0) [/math] 이다. 아무래도 식의 특성상 이차방정식과 아주 밀접하게 맞물리는 녀석이기도 하다. 상수인 a, b, c에 따라서 해가 없는지, 1개(중근)인지, 2개인지 그림을 통해 알아볼 수 있기 때문에 해에 대한 검증으로도 쓰인다.[1]
2 특징
이차함수의 모양은 포물선 모양이다.
[math] y = ax^2 + bx + c[/math]를 이차함수의 일반형, [math] y = a\left(x-p\right)^2+q[/math]의 형태로 고친 것을 이차함수의 표준형이라고 한다.
표준형 이차함수에서 좌표 [math]\left(p,q\right)[/math]를 이차함수의 꼭짓점이라고 한다. 예를 들어 이차함수의 일반형 [math] y = 2x^2 + 4x + 6[/math]을 표준형으로 나타내면 [math] y = 2\left(x+1\right)^2+4[/math]이고, 꼭짓점은 [math]\left(-1,4\right)[/math]이다.
[math]a[/math]의 절댓값이 커질수록 그래프의 폭이 좁아진다. [math]a[/math]가 양수이면 아래로 볼록한, 음수이면 위로 볼록한 그래프가 그려진다.
[math] y \gt ax^2 + bx + c (a\gt0) [/math] 인 영역에서, 포물선이 거울이라고 가정하고, 포물선을 향해 x축에 수직으로 입사하는 빛이 반사되는 선들이 모이는 점이 있다. 이를 초점이라고 한다. 골프에서 여기다 홀을 뚫어놓고, 포물선 모양으로 벽을 만들고 벽으로 퍼팅을 하면 무조건 공이 들어간다나...
미분하면 [math]\displaystyle {d \over dx} \left(ax^{2} + bx + c\right) = 2ax + b [/math]와 같이 일차식이 된다. 그래서 이차곡선 위에 있는 좌표의 기울기를 쉽게 구할 수 있다.
꼭짓점에서 포물선의 기울기는 0이므로 [math]2ax + b = 0 [/math]로 식을 세우면 [math]x = \displaystyle-{b \over 2a}[/math]이다.
즉, 꼭짓점의 [math]x[/math]좌표는 [math]\displaystyle -{b \over 2a} [/math]가 된다. [math]y = ax^2 + bx + c [/math]을 표준형인 [math]\displaystyle y = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}[/math]으로 바꿔서 구해도 미분한 결과와 일치한다.- ↑ 판별식 D가 0보다 작으면 허근을, 0이면 중근을, 0보다 크면 서로 다른 두 실근을 갖게 된다. 판별식 D는 [math] D = b^2 - 4ac [/math]임을 참고하자.